Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

Obyčejná lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, krátce lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je důležitým typem diferenciálních rovnic, které lze explicitně vyřešit. Obecně má tvar:

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=g(x)}$

kde

• ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots a_{n}}$ jsou konstanty; aby rovnice byla skutečně n-tého řádu, musí být ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ (a bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že ${\displaystyle a_{n}=1}$)
• ${\displaystyle x}$ je nezávislá proměnná,
• ${\displaystyle y}$ je neznámá funkce proměnné ${\displaystyle x}$, tj. ${\displaystyle y=y(x)}$,
• ${\displaystyle y',y'',\ldots y^{(n-1)},y^{(n)}}$ jsou derivace funkce ${\displaystyle y}$ až do řádu ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle g(x)}$ je libovolná funkce proměnné ${\displaystyle x}$.

Postup řešení

Při řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty se nejdříve řeší přidružená homogenní rovnice, v níž je ${\displaystyle g(x)}$ nahrazeno nulou; její obecné řešení označíme ${\displaystyle y_{h}}$. Pak je nutné nalézt alespoň jedno partikulární řešení ${\displaystyle y_{p}}$ původní rovnice. K tomu je možné použít metodu variace konstant nebo řešení odhadnout podle tvaru funkce ${\displaystyle g(x)}$. Obecné řešení původní nehomogenní rovnice je pak součet

${\displaystyle y=y_{h}+y_{p}}$.

Homogenní rovnice

Homogenní rovnice n-tého řádu má tvar:

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0}$

Důležitou charakteristikou takovéto rovnice je charakteristická rovnice:

${\displaystyle a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}$

V případě, že má polynom jen jednoduché kořeny ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}}$, je obecným řešením rovnice:

${\displaystyle y=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}+\cdots +C_{n}e^{\lambda {n}x}}$

V případě, že má kořen ${\displaystyle \lambda _{i}}$ násobnost k, pak je zřejmé, že uvedené řešení by neobsahovalo dostatečný počet integračních konstant. V tom případě využijeme skutečnosti, že rovnici řeší i tyto lineárně nezávislé funkce:

${\displaystyle e^{\lambda _{i}x},xe^{\lambda _{i}x},x^{2}e^{\lambda _{i}x},\cdots ,x^{k-1}e^{\lambda _{i}x}}$

které ke k-násobnému kořenu poskytují právě k lineárně nezávislých řešení. Obecné řešení (obecný integrál) je pak lineární kombinace uvedených funkcí, pro všechny kořeny s libovolnou násobností. Protože je součet násobností všech kořenů roven n, má výsledné řešení n integračních konstant.

Literatura

• ČUŘÍK, František. Matematika. 2. vyd. Praha: Česká matice technická, 1944.
• Aplikovaná matematika. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1978. (Oborové encyklopedie).

Související články

• Obyčejná diferenciální rovnice
• Lineární diferenciální rovnice

Portály: Matematika