Kvádr

Kvádr je trojrozměrné těleso – rovnoběžnostěn, jehož stěny tvoří šest pravoúhlých čtyřúhelníků (zpravidla obdélníků, ale existují i speciální případy jako např. čtverec). Má tři skupiny rovnoběžných hran shodné délky.

Kvádr
Objem	${\displaystyle V=a.b.c}$
Povrch	${\displaystyle S=2.(ab+bc+ac)}$
Obrazec stěny	obdélník
Počet vrcholů	8
Počet hran	12
Počet stěn	6
Úhel u vrcholu	90°
Poloměr opsané kulové plochy	-
Poloměr vepsané kulové plochy	-
Duální mnohostěn	-

Vlastnosti

Výpočty

Objem ${\displaystyle V\,\!}$ a povrch ${\displaystyle S\,\!}$ kvádru lze vypočítat z délky jeho hran ${\displaystyle a,b,c\,\!}$ jako:

• ${\displaystyle V=abc\,\!}$
• ${\displaystyle S=2(ab+bc+ac)\,\!}$

Kvádr má tři různé délky stěnových úhlopříček, které jsou vlastně délkou úhlopříčky obdélníka ve vztahu k jeho stranám, a počítají se z Pythagorovy věty:

• ${\displaystyle u_{a}={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,\!}$
• ${\displaystyle u_{b}={\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\,\!}$
• ${\displaystyle u_{c}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,\!}$

Všechny čtyři tělesové úhlopříčky jsou stejně dlouhé a protínají se ve středu souměrnosti. Délku tělesové úhlopříčky kvádru (tj. vzdálenost dvou vrcholů, které neleží ve stejné stěně) lze vypočítat rovněž z Pythagorovy věty:

• ${\displaystyle u={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,\!}$

Kvádr má šest stěn obdélníkového tvaru (ve speciálních případech 2 čtvercové + 4 obdélníkové nebo 6 čtvercových) z nichž dvě protilehlé jsou vždy shodné, osm vrcholů a dvanáct hran z nichž čtveřice rovnoběžných má vždy shodnou délku.

Souměrnost

Kvádr je středově souměrný podle průsečíku svých úhlopříček.

Kvádr je osově souměrný podle tří os – spojnic středů protilehlých stěn.

Kvádr je rovinově souměrný podle tří rovin. Každá z těchto rovin je rovnoběžná s některou ze stěn kvádru a prochází průsečíkem úhlopříček kvádru.

Další vlastnosti

Každé dvě stěny kvádru jsou rovnoběžné nebo kolmé.

Speciální případy

Pravidelný čtyřboký hranol

Speciálním případem kvádru pro ${\displaystyle a=b\,\!}$ je pravidelný čtyřboký hranol. Ten má nejméně jednu dvojici protilehlých stěn čtvercovou – mluvíme o ní jako o základně nebo podstavě. O zbývajícím (potenciálně různém) rozměru pak mluvíme jako o výšce hranolu ${\displaystyle v=c\,\!}$.

Vzorce pro objem a povrch se nám v tomto případě zjednodušují na:

• ${\displaystyle V=a^{2}.v\,\!}$
• ${\displaystyle S=2.a^{2}+4.a.v\,\!}$

Literatura

• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 114–115

Související články

• Krychle
• Obdélník
• Mnohostěn
• Hranol

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kvádr na Wikimedia Commons

• Slovníkové heslo kvádr ve Wikislovníku

Portály: Matematika