Hyperbola je rovinná křivka , kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek .
Hyperbola jako kuželosečka .
Ilustrace definice: ohniska (B1 , B2 ); bod hyperboly (P ); vzdálenosti ohnisek (d1 , d2 ).
Hyperbola také tvoří graf funkce
y
=
1
/
x
{\displaystyle y=1/x}
v kartézské soustavě souřadnic .
Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost .
Implicitní vyjádření
‖
F
1
X
‖
−
‖
F
2
X
‖
=
2
a
{\displaystyle \|F_{1}X\|-\|F_{2}X\|=2a\,\!}
Množina všech bodů X v rovině , které mají od dvou různých ohnisek
F
1
{\displaystyle F_{1}}
a
F
2
{\displaystyle F_{2}}
konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností .
Kartézský souřadnicový systém
Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou y .
Standardní popis hyperboly:
S[m, n] – Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F1 , F2 – ohniska hyperboly
A, B – vrcholy hyperboly
o1 – hlavní osa hyperboly
o2 – vedlejší osa hyperboly
p1 , p2 – asymptoty hyperboly
|
A
S
|
=
|
S
B
|
=
a
{\displaystyle |AS|=|SB|=a\,\!}
– délka hlavní poloosy
|
C
S
|
=
|
S
D
|
=
b
{\displaystyle |CS|=|SD|=b\,\!}
– délka vedlejší poloosy
|
F
1
S
|
=
|
F
2
S
|
=
a
2
+
b
2
=
e
{\displaystyle |F_{1}S|=|F_{2}S|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=e\,\!}
excentricita
|
A
B
|
=
2
a
{\displaystyle |AB|=2a\,\!}
– délka hlavní osy
|
C
D
|
=
2
b
{\displaystyle |CD|=2b\,\!}
– délka vedlejší osy
X[x, y] – libovolný bod náležící hyperbole
Pokud
a
=
b
{\displaystyle a=b}
, pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly .
Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění
Hlavní osa
o
1
{\displaystyle o_{1}}
hyperboly rovnoběžná s osou
x
{\displaystyle x}
Středová rovnice :
(
x
−
m
)
2
a
2
−
(
y
−
n
)
2
b
2
=
1
{\displaystyle {(x-m)^{2} \over a^{2}}-{(y-n)^{2} \over b^{2}}=1\,\!}
Obecná rovnice :
A
x
2
−
B
y
2
+
C
x
+
D
y
+
E
=
0
,
A
>
0
,
B
>
0
{\displaystyle Ax^{2}-By^{2}+Cx+Dy+E=0\;,A>0,B>0\,\!}
Rovnice asymptot :
y
−
n
=
±
b
a
(
x
−
m
)
{\displaystyle y-n=\pm {b \over a}(x-m)\,\!}
Rovnice tečny v bodě
T
[
x
0
,
y
0
]
{\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}
:
(
x
−
m
)
(
x
0
−
m
)
a
2
−
(
y
−
n
)
(
y
0
−
n
)
b
2
=
1
{\displaystyle {(x-m)(x_{0}-m) \over a^{2}}-{(y-n)(y_{0}-n) \over b^{2}}=1\,\!}
Hlavní osa
o
1
{\displaystyle o_{1}}
hyperboly rovnoběžná s osou
y
{\displaystyle y}
Středová rovnice :
(
y
−
n
)
2
a
2
−
(
x
−
m
)
2
b
2
=
1
{\displaystyle {(y-n)^{2} \over a^{2}}-{(x-m)^{2} \over b^{2}}=1\,\!}
Obecná rovnice :
−
A
x
2
+
B
y
2
+
C
x
+
D
y
+
E
=
0
,
A
>
0
,
B
>
0
{\displaystyle -Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0\;,A>0,B>0\,\!}
Rovnice asymptot :
y
−
n
=
±
a
b
(
x
−
m
)
{\displaystyle y-n=\pm {a \over b}(x-m)\,\!}
Rovnice tečny v bodě
T
[
x
0
,
y
0
]
{\displaystyle T[x_{0},y_{0}]}
:
(
y
−
n
)
(
y
0
−
n
)
a
2
−
(
x
−
m
)
(
x
0
−
m
)
b
2
=
1
{\displaystyle {(y-n)(y_{0}-n) \over a^{2}}-{(x-m)(x_{0}-m) \over b^{2}}=1\,\!}
Asymptoty
p
1
,
p
2
{\displaystyle p_{1},p_{2}}
rovnoběžné s osami
x
{\displaystyle x}
a
y
{\displaystyle y}
Asymptoty totožné s osami x a y : y = 1/x
Středová rovnice :
(
x
−
m
)
(
y
−
n
)
=
c
{\displaystyle (x-m)(y-n)=c\,\!}
a
=
b
=
2
|
c
|
{\displaystyle a=b={\sqrt {2|c|}}\,\!}
Obecná rovnice :
x
y
+
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle xy+Ax+By+C=0\,\!}
Rovnice asymptot :
x
=
m
,
y
=
n
{\displaystyle x=m,y=n\,\!}
Převedení obecné rovnice na středovou
Uspořádáme členy v rovnici .
2
x
2
+
4
x
−
y
2
+
3
y
−
17
4
=
0
{\displaystyle 2x^{2}+4x-y^{2}+3y-{17 \over 4}=0\,\!}
Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient ) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu . To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.
2
[
(
x
+
1
)
2
−
1
]
−
[
(
y
−
3
2
)
2
−
9
4
]
=
17
4
{\displaystyle 2\left[{(x+1)}^{2}-1\right]-\left[{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}-{9 \over 4}\right]={17 \over 4}\,\!}
Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.
2
(
x
+
1
)
2
−
2
−
(
y
−
3
2
)
2
+
9
4
=
17
4
{\displaystyle 2(x+1)^{2}-2-{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}+{9 \over 4}={17 \over 4}\,\!}
2
(
x
+
1
)
2
−
(
y
−
3
2
)
2
=
4
{\displaystyle 2(x+1)^{2}-{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2}=4\,\!}
(
x
+
1
)
2
2
−
(
y
−
3
2
)
2
4
=
1
{\displaystyle {(x+1)^{2} \over 2}-{{\left(y-{3 \over 2}\right)}^{2} \over 4}=1\,\!}
Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa
o
1
{\displaystyle o_{1}}
je rovnoběžná s osou
x
{\displaystyle x}
.
S
[
−
1
,
3
2
]
{\displaystyle S\left[-1,{3 \over 2}\right]\,\!}
,
a
=
2
{\displaystyle a={\sqrt {2}}\,\!}
,
b
=
2
{\displaystyle b=2\,\!}
,
e
=
6
{\displaystyle e={\sqrt {6}}\,\!}
,
p
1
:
y
=
2
x
+
3
+
2
2
2
{\displaystyle p_{1}:y={\sqrt {2}}x+{3+2{\sqrt {2}} \over 2}\,\!}
,
p
2
:
y
=
−
2
x
+
3
−
2
2
2
{\displaystyle p_{2}:y=-{\sqrt {2}}x+{3-2{\sqrt {2}} \over 2}\,\!}
Vzájemná poloha hyperboly a bodu
Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou
stranu (anulujeme rovnici ) a dosadíme souřadnice bodu,
pak bude platit:
výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly
Polární souřadnicový systém
Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:
r
2
=
a
2
b
2
b
2
cos
2
θ
−
a
2
sin
2
θ
{\displaystyle r^{2}={a^{2}b^{2} \over b^{2}\cos ^{2}\theta -a^{2}\sin ^{2}\theta }\,\!}
Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:
r
=
a
(
ϵ
2
−
1
)
1
−
ϵ
cos
θ
{\displaystyle r={a(\epsilon ^{2}-1) \over 1-\epsilon \cos \theta }\,\!}
Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I , Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5 , str. 102–103, 118–121 a 179–181
Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná , Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4 , str. 116–117