Homologická algebra
obor matematiky / From Wikipedia, the free encyclopedia
Homologická algebra je obor matematiky, který studuje homologii v obecném algebraickém prostředí. Jedná se o relativně mladou disciplínu, jejíž počátky lze vysledovat k výzkumům v kombinatorické topologii (předchůdci algebraické topologie) a abstraktní algebře (teorii modulů a syzygií) na konci 19. století, především Henriho Poincaré a Davida Hilberta.
Vývoj homologické algebry byl úzce spjat se vznikem teorie kategorií. Z většiny homologická algebra zkoumá homologické funktory a složité algebraické struktury, s nimiž souvisí. Jedním z velmi užitečných a poměrně rozšířených konceptů v matematice jsou řetězcové komplexy, které se dají studovat přes jejich homologii a kohomologii. Homologická algebra poskytuje prostředky k získávání informací obsažených v těchto komplexech a prezentuje je ve formě homologických invariant okruhů, modulů, topologických prostorů a dalších „hmatatelných“ matematických objektů. Mocným nástrojem s tímto účelem jsou spektrální sekvence.
Od samého počátku hrála homologická algebra obrovskou roli v algebraické topologii. Její vliv se postupně rozšířil a v současnosti zahrnuje komutativní algebru, algebraickou geometrii, algebraickou teorii čísel, teorii reprezentace, matematickou fyziku, algebry operátorů, komplexní analýzu a teorii parciálních diferenciálních rovnic. K-teorie je nezávislá disciplína, která čerpá z metod homologické algebry stejně jako nekomutativní geometrie Alaina Connese.