Gaussův zákon elektrostatiky

Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.

Formulace zákona

Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:

Tok elektrické intenzity ${\displaystyle \Phi _{E}}$ libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji ${\displaystyle Q}$ nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$.

Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako

${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah

${\displaystyle \Phi =\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.

Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.

Pokud uvažujeme uzavřenou plochu ${\displaystyle S}$ libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu ${\displaystyle V}$, které obsahuje celkový náboj ${\displaystyle Q}$, který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

Pokud se uvnitř plochy ${\displaystyle S}$ nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu ${\displaystyle Q=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathrm {d} V}$, což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho \mathrm {d} V}$

Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme

${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \,\mathbf {E} \mathrm {d} V={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho \mathrm {d} V}$

Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem ${\displaystyle V}$, musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}}}$

Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.

Gaussův zákon v dielektriku

V dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce ${\displaystyle \mathbf {D} }$ v integrálním tvaru jako

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =Q}$

nebo v diferenciálním tvaru jako

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {D} =\rho }$

V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z Maxwellových rovnic.

Počet siločar

Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:

Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj ${\displaystyle Q}$, je roven podílu velikosti náboje ${\displaystyle Q}$ uvnitř této plochy a permitivity vakua ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$, přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.

Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem

${\displaystyle N=\Phi }$,

kde ${\displaystyle N}$ označuje počet siločar.

V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru

${\displaystyle N={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

Vlastnosti

• Gaussův zákon elektrostatiky se používá pro výpočet intenzity elektrického pole v různých bodech prostoru, zpravidla lze-li uplatnit některé symetrie problému. Je přímým důsledkem Gaussovy věty a Maxwellových rovnic.

• Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné těleso s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový.
• Jestliže má plocha kulový tvar poloměru r a v jejím středu se nachází bodový elektrický náboj Q, pak intenzita elektrického pole v libovolném bodě na ploše má velikost

${\displaystyle E={\frac {\Phi _{E}}{4\pi r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}}$

Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem.

• Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.

Související články

• Elektřina
• Elektrostatika
• Tok intenzity elektrického pole
• Elektrický náboj

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Gaussův zákon elektrostatiky na Wikimedia Commons

Literatura

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. [s.l.]: [s.n.] 650 s. ISBN 80-200-1004-1.