Cliffordův torus
From Wikipedia, the free encyclopedia
Cliffordův torus (pojmenovaný po Williamu Kingdonu Cliffordovi) je v geometrické topologii nejjednodušší a nejsymetričtější ploché vložení kartézského součinu dvou jednotkových kružnic S 1
a a S 1
b (ve stejném smyslu, v němž je „plochý“ povrch válce). Cliffordův torus nepatří do prostoru R3, ale do R4. Pro pochopení, proč je nestačí R3, je třeba si všimnout, že pokud S 1
a i S 1
b existují ve vlastních nezávislých vložených prostorech R 2
a a R 2
b , výsledný součinový prostor bude R4, nikoli R3. Historicky oblíbená představa, že kartézský součin dvou kružnic je R3-torus, naopak vyžaduje vysoce asymetrickou aplikaci operátoru rotace na druhou kružnici, aby tato kružnice měla pouze jednu nezávislou osu z, když pro první kružnici byly použity osy x a y.
Jinak řečeno, vložení toru do R3 je asymetrická projekce, která snižuje počet rozměrů maximálně symetrického Cliffordova toru vloženého do R4, obdobná projekci hran krychle na list papíru. Taková projekce vytváří obraz s menším počtem rozměrů, který sice přesně zachycuje propojení hran krychle, ale vyžaduje výběr a odstranění jedné ze tří plně symetrických a zaměnitelných os krychle.
Pokud obě kružnice S 1
a a S 1
b mají poloměr , jejich součin vytvářející Cliffordův torus se přesně vejde do jednotkové 3-sféry S3, která je 3rozměrnou podvarietou R4. Je-li to matematicky pohodlné, můžeme předpokládat, že Cliffordův torus je umístěný v prostoru komplexních souřadnic C2, protože C2 je topologicky ekvivalentní s R4.
Cliffordův torus je příkladem čtvercového toru, protože je izometrií čtverce se ztotožněnými opačnými stranami. Je také znám jako Eukleidovský 2-torus (“2“ je jeho topologický rozměr); obrazec zvolený tak, aby zachovával Eukleidovskou geometrii[ujasnit] jako, pokud ono byly plochý, zatímco povrch běžné „Americké koblihy“-tvarován torus je kladně zakřivený na vnější hranici a záporně zakřivený na vnitřní. Přestože má jinou geometrii než standardní vložení toru do trojrozměrného eukleidovského prostoru, může být čtvercový torus také vložen do trojrozměrného prostoru podle Nashovy věty o vložení; jedno možné vložení mění standardní torus na fraktální množinu vlnek běžících ve dvou kolmých směrech po povrchu.[1]