Bézierova křivka

Bézierova křivka, nesprávným pravopisem Beziérova křivka, pojmenovaná po francouzském inženýru Pierru Bézierovi, je jednou z mnoha parametrických křivek. Umožňuje interaktivně vytvářet křivku a modifikovat její tvar. Pomocí Bézierovy křivky lze také reprezentovat i interpolační křivky (existují například algoritmy na převod mezi interpolačními spline kubikami a B-spline kubikami resp. Bézier kubikami).

Jedná se o zobecnění Bézierových křivek. Pokud chce uživatel modifikovat tvar Bézierovy křivky, musí vybrat příslušný řídicí bod a změnit jeho polohu. To nemusí být vždy jednoduché a vyžaduje to jistou zkušenost. Tento problém se podstatně komplikuje v třírozměrném prostoru. Přirozenou se potom jeví metoda, která každému bodu řídicího polygonu přiřadí „váhu“ – reálné číslo, jehož změnou se mění tvar křivky. Největším přínosem racionálních Bézierových křivek je možnost manipulace s tvarem křivky bez nutnosti měnit polohy bodů řídicího polygonu.

Křivka má rovnici

C(t)={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}P_{i}B_{i,n}(t)}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}B_{i,n}(t)}}}

kde $P_{i}$ jsou řídící body a $w_{i}$ jsou příslušné váhy.

Bézierova křivka n-tého stupně pro n+1 zadaných kontrolních bodů, které tvoří tzv. řídicí polygon, je pro $t\in <0,1>$ definována jako

C(t)=\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_{i}

,

přičemž $B_{i,n}(t)$ je i-tý Bernsteinův polynom n-tého stupně:

B_{i,n}(t)={\binom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}

Bernsteinovy polynomy tvoří bázi vektorového prostoru polynomu a splňují rekurentní vzorec:

$B_{i,n}(t)=(1-t)\cdot B_{i,n-1}(t)+t\cdot B_{i-1,n-1}(t)$ ,

navíc $B_{i,n}=0\ \forall \ (i<0)\lor (i>n)$ , dále $B_{0,0}=1$ . Je tak umožněn stabilní číselný rekurzivní výpočet hodnoty Bézierovy křivky pomocí Casteljauova algoritmu:

{\begin{aligned}C_{i}^{0}(t)&=P_{i}\\C_{i}^{j}(t)&=(1-t)C_{i}^{j-1}(t)+tC_{i+1}^{j-1}(t){\begin{cases}j=1,...,n\\i=0,...,n-j.\end{cases}}\end{aligned}}

Křivka se nachází uvnitř konvexní obálky svého řídicího mnohoúhelníku. Z toho plyne, že Bernsteinovy polynomy stupně n jsou rozkladem jedné:
$1=\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)\ \ \ t\in <0,1>$

Křivka prochází přesně koncovými body P₀ a P_n:
${\begin{aligned}C(0)\ &=\ \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}0^{i}(1-0)^{n-i}P_{i}=P_{0}\\C(1)\ &=\ P_{n}\end{aligned}}$

Tečny v koncových bodech jsou:
$C'(0)=n\cdot (P_{1}-P_{0})$

$C'(1)=n\cdot (P_{n}-P_{n-1})$

Jedna přímka protíná Bézierovu křivku nanejvýš tolikrát, kolikrát jí protíná její kontrolní polygon (křivka má omezené kolísání).

Bézierova křivka je invariantní vůči lineární transformaci (posunutí, změna měřítka, otáčení, atd.), což znamená, že transformovaný řídící polygon dá stejný výsledek, jako když transformujeme každý bod z vygenerované křivky. Obecná Bézierova křivka, na rozdíl od racionální Bézierovy nebo NURBS křivky, není invariantní k perspektivnímu promítání.

Leží-li všechny kontrolní body na jedné přímce, pak se Bézierova křivka stává úsečkou (výhoda oproti interpolaci polynomu).

Vliv kontrolního bodu na křivku je globální. Tzn. posune-li se jeden bod, změní se celá křivka. Proto se v praxi nejčastěji používají tzv. splines, složené pracovní křivky daného stupně, které do sebe kontinuálně přecházejí.

Jako zobecněnou formu Bézierovy křivky lze použít Bézierovu plochu. Bézierova plocha (n,m)-tého řádu je plocha ve formě
$C(u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}P_{i,j}B_{i,n}(u)B_{j,m}(v)$

s kontrolními body P_i,j a s Bersteinovým polynomem B_i,n(u) a B_j,m(v). Bézierova plocha může být popsána také dvěma na sebe kolmými Bézierovými křivkami.

V počítačové grafice se Bézierovy křivky používají k definování křivek a ploch v rámci CAD, při vektorových grafikách (např. SVG) a k popsání písma (např. PostScript Type 1 a CFF-OpenType).

Lineární Bézierovy křivky (n = 1)

Dva kontrolní body P₀ a P₁ určují lineární Bézierovu křivku, která odpovídá úsečce mezi těmito dvěma body.

Křivka je specifikována jako:

{\begin{aligned}C(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{1}t^{i}(1-t)^{1-i}P_{i}\\\ &=\ (1-t)P_{0}+tP_{1}{\mbox{ , }}t\in <0,1>\end{aligned}}

.

Kvadratické Bézierovy křivky (n = 2)

Kvadratická Bézierova křivka je dráha, která je popsána funkcí C(t) pro body P₀, P₁ a P₂:

{\begin{aligned}C(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}P_{i}\\\ &=\ (1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2}{\mbox{ , }}t\in <0,1>\end{aligned}}

.

Kubické Bézierovy křivky (n = 3)

Kubické Bézierovy křivky mají velký význam pro praxi, protože jsou skládány z menších dílů, kde můžeme jednoduše definovat spojitost v řídících (koncových) bodech jednotlivých segmentů. Další výhodou je omezený vliv změny polohy jednoho bodu na tvar celé křivky. Pro rasterizaci Beziérovy křivky se většinou používá adaptivní algoritmus de Casteljau.

Čtyři body (P₀, P₁, P₂ a P₃) určují kubickou Bézierovu křivku. Křivka začíná v bodě P₀ a pokračuje směrem P₁ a dále směrem na P₂ a P₃. Obecně křivka skrz body P₁ a P₂ neprochází – tyto body určují pouze tvar křivky, přičemž P₁ určuje směr, kterým křivka z bodu P₀ vychází. P₂ určuje směr, kterým se křivka přibližuje k bodu P₃. Vzdálenost mezi body P₀, P₁ a mezi body P₂, P₃ určuje „jak dlouho“ se křivka pohybuje ve směru kontrolního bodu P₁ a P₂, před tím než se stočí ve směru bodu P₃.

{\begin{aligned}C(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{3}{\binom {3}{i}}t^{i}(1-t)^{3-i}P_{i}\\&=\ (1-t)^{3}P_{0}+3t(1-t)^{2}P_{1}+3t^{2}(1-t)P_{2}+t^{3}P_{3}\\&=\ (-P_{0}+3P_{1}-3P_{2}+P_{3})t^{3}+(3P_{0}-6P_{1}+3P_{2})t^{2}+(-3P_{0}+3P_{1})t+P_{0}\\&=\ \underbrace {\begin{pmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{pmatrix}} _{radkovy\ vektor}\underbrace {\begin{pmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}} _{bazova\ matice}\underbrace {\begin{pmatrix}P_{0}\\P_{1}\\P_{2}\\P_{3}\end{pmatrix}} _{sloupcovy\ vektor}\quad ,t\in <0,1>\end{aligned}}

.

Pro každý parametr t Bézierovy křivky může být určen tečný vektor odvozením z výchozí rovnosti. Přitom je délka vektoru měřítkem pro rychlost „postupu“ na křivce.

{\begin{aligned}{\dot {C}}(t)\ &=\ (-P_{0}+3P_{1}-3P_{2}+P_{3})3t^{2}+(3P_{0}-6P_{1}+3P_{2})2t+(-3P_{0}+3P_{1})\\&=\ {\begin{pmatrix}3t^{2}&2t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{0}\\P_{1}\\P_{2}\\P_{3}\end{pmatrix}}\quad ,t\in <0,1>\end{aligned}}

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bézierkurve na německé Wikipedii.

Související články