Booleova logika

Booleova logika se zabývá logickými operacemi konjunkce (značená též "*", AND, "&" nebo ${\displaystyle \wedge }$), disjunkce (značena též "+", OR, "|", "." nebo ${\displaystyle \vee }$) a negace (značena též pruhem nad částí výrazu, NOT) na množině hodnot { 0, 1 }. Jejím rozšířením je pak Booleova algebra.

16 booleovských funkcí dvou proměnných

Definice logických funkcí

Jednovstupové

jeden argument

A		ID	NOT
0		0	1
1		1	0

Identita

ID – vrací stejnou hodnotu, jako měl vstup. Platí:

• A = ID(A)
• ID( 0 ) = 0
• ID( 1 ) = 1

Negace

NOT – vrací opačnou hodnotu, než měl vstup. Platí:

• NOT( 0 ) = 1, komplement
• NOT( 1 ) = 0, komplement
• A = NOT ( NOT(A) ), involuce

Dvouvstupové základní

dva argumenty

A	B		OR	NOR		AND	NAND		${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$		XOR
0	0		0	1		0	1		1	1		0
0	1		1	0		0	1		1	0		1
1	0		1	0		0	1		0	0		1
1	1		1	0		1	0		1	1		0

Disjunkce

OR – vrací součet hodnot vstupů. Platí:

• 0 + 1 = 1
• 1 + A = 1, agresivita, omezenost
• 0 + A = A, neutralita, omezenost
• A + A = A, idempotence
• A + B = B + A, komutativita
• A + NOT(A) = 1, komplement

Konjunkce

AND – vrací součin hodnot vstupů. Platí:

• 0 * 1 = 0
• 1 * A = A, neutralita, omezenost
• 0 * A = 0, agresivita, omezenost
• A * A = A, idempotence
• A * B = B * A, komutativita
• A * NOT(A) = 0, komplement

Základní pravidla

Párová pravidla platí i po vzájemné záměně "+" za "*", zde jsou tyto operace vzájemně symetrické.

Absorpce

• A*(A+B) = A

Ve výrazu (A+B) jeho část +B už nemůže rozšířit limitující A, proto je zbytečné.

• A+(A*B) = A

Dodatečné (A*B) nemůže zúžit šíři faktu A, proto je zbytečné.

Obě tato pravidla se dají na sebe vzájemně převést:

A*(A+B) = A*A + A*B = A + (A*B).

Z věty "Přijde Karel (A), nebo přijde se ženou(B)." vyplývá, že můžeme bez obav ohlásit: "Karel přijde!(A)".

Absorpce negace

• ~A*(A+B)=~A×B

Odvození je poměrně snadné: ~A*(A+B) = ~A*A + ~A*B = ~A*B. Výraz B v závorce je rozšiřován o A, ale množina daná výrokem ~A*A je prázdná.

"Zítra přijde Karel nebo Monika. (A+B)" "Ne ne, pozor, Karel nepřijde. (~A)" "Aha, tak to přijde jen Monika. (~A*B)"

• A+(~A*B)=A+B

Odvození je zajímavé, protože Booleova algebra jinak roznásobovává závorky než běžná aritmetika:

A+(~A*B)=(A+~A)*(A+B)=(A+B)

Vedoucí přemýšlí: "Kdo zítra maže turbínu?" Na stole mu podřízení nechali dva lístečky: "Přijde Karel. (A)" a na druhém je napsáno: "Nepřijde Karel, přijde Jana. (~A*B)". Vedoucí teď neví, který lísteček je časově poslední, který platí, jestli tedy přijde nebo nepřijde Karel, pak si řekne: "To je jedno. Prostě jeden z nich přijde (A+B)."

Asociativita

• (A+B)+C = A+(B+C)
• (A*B)*C = A*(B*C)

Distributivita

• A*(B+C) = AB+AC
• A+(B*C) = (A+B)*(A+C), protože A+AB+AC+BC = A+A*(B+C)+BC = (A+A*D)+E = A+E, (substituce, pak absorpce závorky)

Neutrálnost 0 a 1

• A+0 = A
• A*1 = A

Idempotence

• A+A = A
• A*A = A

De Morganovy zákony

Logický součet a součin lze vyjádřit jeden pomocí druhého, při použití negace.

• ${\displaystyle A+B={\overline {{\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}}}$
• ${\displaystyle A\cdot B={\overline {{\overline {A}}+{\overline {B}}}}}$

De Morganovy zákony tedy definují negace logického součtu a součinu:

• ${\displaystyle {\overline {A+B}}={\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}$
• ${\displaystyle {\overline {A\cdot B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}}$

16 booleovských funkcí dvou proměnných

Dvouvstupové odvozené

NOR

NOR – negace součtu vstupů:

• A NOR B = NOT (A+B)
• A NOR B = NOT(A) * NOT(B)

NAND

NAND – negace součinu vstupů:

• A NAND B = NOT(A) + NOT(B)
• A NAND B = NOT (A*B)

Implikace

NOR – Buď při splněném předpokladu A vrací B, nebo z nesplněného předpokladu vyplývá cokoli a vrací 1:

• A ${\displaystyle \Rightarrow }$ B = NOT(A) + B = NOT( A*NOT(B) )

Ekvivalence

EQ – porovnává shodnost hodnot všech vstupů:

• A ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ B = A*B + NOT(A)*NOT(B) = (A+NOT(B)) * (NOT(A)+B)

Exkluzivní disjunkce

XOR – porovnává unikátnost hodnoty každého vstupu:

• A XOR B = A*NOT(B) + B*NOT(A)

XOR versus NEQ

Obecně jsou XOR a nonekvivalence rozdílné funkce, ale pro dvě dvouhodnotové proměnné dále platí:

• ( A XOR B ) = NOT( A ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ B )

nebo jinak,

• XOR(A,B) = NOT(EQ(A,B))

Související články

• Karnaughova mapa
• Vytýkání

Externí odkazy

• Booleova logika v České terminologické databázi knihovnictví a informační vědy (TDKIV)