Bijekce

Bijekce (bijektivní zobrazení, vzájemně jednoznačné zobrazení) je typ zobrazení, které je zároveň prosté i na. Bijekce je tedy zároveň injektivní zobrazení i surjektivní zobrazení. Bijektivní zobrazení přiřazuje každému prvku z cílové množiny právě jeden prvek z výchozí množiny.

Bijektivní zobrazení

Definice

Zobrazení ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ nazýváme bijektivní, pokud je každý prvek oboru hodnot mapován právě jedním prvkem definičního oboru:

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists !x\in X:y=f(x)}$.

Příklady

Mějme zobrazení ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ definované takto: ${\displaystyle f(x)=2x+1}$. Toto zobrazení je bijektivní, jelikož pro každé reálné číslo ${\displaystyle y}$ můžeme vyřešit rovnici ${\displaystyle y=2x+1}$ tak, že získáme právě jedno reálné číslo ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(y-1)}$.

Na druhé straně, zobrazení ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ definované jako ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ není bijektivní, a to ze dvou důvodů:

• ${\displaystyle g(1)=g(-1)}$, takže ${\displaystyle g}$ není injektivní
• neexistuje ${\displaystyle x}$ tak, že ${\displaystyle x^{2}=-1}$, takže ${\displaystyle g}$ není surjektivní

Kterákoli z těchto skutečností je dostatečná k ukázání, že ${\displaystyle g}$ není bijektivní.

Použití

Bijektivní zobrazení se užívá k porovnávání mohutností nekonečných množin, tj. existuje-li libovolná bijekce mezi dvěma množinami, říkáme, že mají stejnou mohutnost. Např. lze zkonstruovat bijekci mezi množinou přirozených čísel a množinou racionálních čísel, tj. uvedené množiny mají stejnou mohutnost, jsou spočetné. Naproti tomu mezi množinou racionálních čísel a reálných čísel žádnou bijekci zkonstruovat nelze, tj. uvedené množiny nemají stejnou mohutnost, množina reálných čísel je nespočetná.

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.

Související články

• Injekce (matematika)
• Surjekce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu bijekce na Wikimedia Commons

Portály: Matematika