Absolutní hodnota

Absolutní hodnota je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly^[1] a značí se dvěma svislými čarami: ${\displaystyle |x|}$. Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z kladného čísla je stejné číslo (${\displaystyle |x|=x}$; např. ${\displaystyle |3|=3}$). Absolutní hodnota ze záporného čísla je číslo opačné (${\displaystyle |-x|=x}$; např. ${\displaystyle |-3|=3}$). Absolutní hodnota z nuly je nula.

Zápis |${\displaystyle x}$| s ${\displaystyle x}$ mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841.^[2] Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnosti

Reálná čísla

Absolutní hodnota reálného čísla ${\displaystyle a}$ je definována následovně:

${\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{pokud }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{pokud }}a<0\end{cases}}}$

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla ${\displaystyle a}$ je vždy nezáporné číslo.

Pro každé reálné číslo platí:

1. ${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}$
2. ${\displaystyle |a|\geq 0}$
3. ${\displaystyle |a|=0\Leftrightarrow a=0}$
4. ${\displaystyle |ab|=|a|.|b|}$
5. ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$ (trojúhelníková nerovnost)
6. ${\displaystyle |(|a|)|=|a|}$
7. ${\displaystyle |-a|=|a|}$
8. ${\displaystyle |a-b|=0\Leftrightarrow a=b}$
9. ${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$
10. ${\displaystyle {\bigg |}{\frac {a}{b}}{\bigg |}={\frac {|a|}{|b|}}}$ (pro b ≠ 0)
11. ${\displaystyle \ |a-b|\geq {\Big |}(|a|-|b|){\Big |}}$

Absolutní hodnota v nerovnosti (pro ${\displaystyle b\geq 0}$):

${\displaystyle \ |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle \ |a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b\lor b\leq a}$

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například:
${\displaystyle |x-3|\leq 9\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -6\leq x\leq 12}$

Absolutní hodnota funkce ${\textstyle |f|:y=|f(x)|,x\in D(f)\subset R}$ je funkce označovaná ${\displaystyle |f|}$, jejíž funkční hodnoty jsou rovny ${\displaystyle |f(x)|}$ a která má definiční obor ${\displaystyle D(|f|)=D(f)}$.

Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:

${\displaystyle |f|:y=|f(x)|=\{{\begin{aligned}&f(x),&{\text{pro}}\;f(x)\geq 0,\\&-f(x),&{\text{pro}}\;f(x)<0\\\end{aligned}}}$

Funkce s absolutní hodnotou - Tím se rozumí funkce, která vychází z jakékoli funkce (lineární, kvadratické, logaritmické, goniometrické atd.), pokud ve svém předpisu obsahuje absolutní hodnotu.^[3]

Absolutní hodnota jako funkce je pro reálná čísla definována takto: ${\displaystyle \ f(x)=|x|}$ .

Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Její vlastnosti:^[4]

• ${\displaystyle D(f)=R;}$
• ${\displaystyle H(f)=\langle 0,\infty {\bigr )}}$;
• klesající v intervalu ${\displaystyle {\bigl (}-\infty ,0\rangle }$ ;
• rostoucí v intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$;
• je zdola omezená, shora omezená není;
• v bodě 0 má minimum, nemá maximum;
• je sudá, není prostá, není periodická;
• spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě ${\displaystyle x}$ = 0.

Komplexní čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla ${\displaystyle |z|}$ je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině, od počátku soustavy souřadnic. Všechna komplexní čísla ${\displaystyle z}$, která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu ${\displaystyle |z|}$. Absolutní hodnoty komplexních čísel ${\displaystyle |z_{1}|,|z_{2}|,|z_{1}+z_{2}|,|z_{1}-z_{2}|}$ jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{1}+z_{2},z_{1}-z_{2}}$ od počátku soustavy souřadnic.

Absolutní hodnota komplexního čísla ${\displaystyle \ z=a+bi}$, kde ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ jsou reálná čísla, je definována vztahem: ${\displaystyle |z|={\sqrt {z.{\bar {z}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$ kde ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi.}$

Vlastnosti:

• Imaginární část ${\displaystyle b}$ komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla ${\displaystyle a}$.
• Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je ${\displaystyle |z|=r}$.
• ${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$, kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k ${\displaystyle z}$.
• Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11).
• Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Kvaterniony

viz také kvaternion

Definice normy kvaternionu: ${\displaystyle |h|={\sqrt {hh^{*}}}}$, kde ${\displaystyle h^{*}=a-bi-cj-dk}$ .

Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru ${\displaystyle h=a+bi+cj+dk}$ je dána definicí: ${\displaystyle |h|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$, kde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle d}$ jsou reálná čísla.

Vektory

viz také vektor

Absolutní hodnota (norma) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru ${\displaystyle {\mbox{x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}}$ je definována výrazem ${\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}$ .

Pomocí souřadnic vektoru ${\displaystyle {\mbox{x}}\in \mathbb {C} ^{n}}$ v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem: ${\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+...+|x_{n}|^{2}}}}$ .

Definice vyjádřená skalárním součinem: ${\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {{\mbox{x}}^{*}\cdot {\mbox{x}}}}}$, kde ${\displaystyle {\mbox{x}}^{*}}$ je vektor komplexně sdružených čísel.

Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru ${\displaystyle V}$ zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

• ${\displaystyle |x|\geq 0}$ (nezápornost),
• ${\displaystyle |x|=0\leftrightarrow x=0}$ (definitnost),
• ${\displaystyle |\lambda x|=|\lambda |.|x|}$ (homogenita),
• ${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$ (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny ${\displaystyle x,y\in V,\lambda \in \mathbb {C} }$.

Prostory

Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.

Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:

• ${\displaystyle v(a)\geq 0}$
• ${\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$

Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující:

• ${\displaystyle d}$ splňuje nerovnost ${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$ pro všechna ${\displaystyle x,y,z\in F}$
• ${\displaystyle {\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}}$ je omezená v ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1\ }$ pro každé ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$ pro všechna ${\displaystyle a\in F}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}\ }$ pro všechna ${\displaystyle a,b\in F}$

Vztah absolutní hodnoty k funkci signum

Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako

${\displaystyle |x|=x\cdot \operatorname {sgn} x}$ .

Platí také

${\displaystyle x=|x|\cdot \operatorname {sgn} x}$ .

Derivace

Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0, v bodě x=0 neexistuje:

${\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}}$ .

Platí tedy

${\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {|x|}{x}}=\operatorname {sgn} x}$ .

Druhá derivace |x| je nula, mimo hodnoty pro x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

${\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {sgn} x.}$

Vzdálenost

Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně: absolutní hodnota rozdílu dvou čísel (reálných nebo komplexních) je vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

a

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

je v eukleidovském prostoru definována jako

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako

${\displaystyle |a-b|={\sqrt {(a-b)^{2}}}.}$

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou komplexní čísla

${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$ a ${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$ , pak

${\displaystyle |a-b|=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}$

${\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}$

${\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}.}$

Zobecnění

Reálné zobrazení ${\displaystyle d:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} }$ se nazývá metrika, jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná ${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {M}}}$):

${\displaystyle d(a,b)\geq 0}$

${\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}$

${\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}$

${\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}$

Reference

1. ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2., (opr.). vyd. Brno: Didaktis 208 s. Dostupné online. ISBN 80-86285-97-9, ISBN 978-80-86285-97-9. OCLC 53261459
2. Karl Weierstrass - Biography. Maths History [online]. [cit. 2021-02-16]. Dostupné online. (anglicky)
3. DOLEŽALOVÁ, Lucie. Absolutní hodnota v učivu matematiky střední školy [online]. Brno: 2015 [cit. 2021-02-16]. Dostupné online.
4. Funkce. www2.karlin.mff.cuni.cz [online]. [cit. 2021-03-31]. Dostupné online.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu absolutní hodnota na Wikimedia Commons

Portály: Matematika