Infinitu

In matematica u cuncettu d'infinitu (simbulu ${\displaystyle \infty }$) hà parechji significati, in currilazioni incù a nuzioni di limita, tantu in analisa classica ch'è in analisa non standard. I nuzioni d'infinitu sò imprudati in tiuria di l'insemi è in a giumitria pruiittiva.

U simbulu matematicu d'infinitu

Tiuria di l'insemi

In a tiuria di l'insemi un insemu ${\displaystyle A}$ si dici infinitu s'è ognunu di i so sottuinsemi finitu hè un sottuinsemu probbiu. Una difinizioni altirnativa hè a siguenti: un insemu ${\displaystyle A}$ hè infinitu s'edda esisti un'applicazioni biunivoca d'${\displaystyle A}$ in un sottuinsemu di soiu probbiu ${\displaystyle A'}$. In altri paroli, ${\displaystyle A}$ hè infinitu s'è è solu s'eddu hè equiputenti à un sottuinsemu di soiu probbiu. Par dimustrà l'equivalenza di i dui difinizioni hè indispinsevuli l'assioma di a scelta.

Hè pussibuli di fà una distinzioni trà diffarenti gradi d'infinità da u mumentu ch'eddu si pò individuà insemi infiniti chì t'ani una cardinalità più grandi ch'è l'altri. Georg Cantor sviluppò a tiuria di i numari cardinali transfiniti, in a quali u prima numaru transfinitu hè aleph-zeru ${\displaystyle \aleph _{0}}$, chì currispondi à a cardinalità di l'insemu di i numari naturali. U gradu d'infinitu succissivu cunnisciutu hè ${\displaystyle \aleph _{1}}$. L'infinitu currispundenti à a cardinalità di i numari riali hè generalamenti indicatu incù ${\displaystyle c}$. U prublemu s'è ${\displaystyle c=\aleph _{1}}$, vali à dì micca di l'esistenza o menu d'una cardinalità media trà quisti dui, hè a cusidditta iputesa di u cuntinuu. In 1940 Kurt Gödel dimustrò ch'è 'ss'iputesa hè cuerenti incù l' assiomi di Zermelo-Fraenkel (incù o senza l'assioma di a scelta); in u 1963 Paul Cohen hà dimustratu dopu ch'è ancu a nigazioni di 'ss'iputesa hè cuerenti incù quiddi assiomi. Di cunsiquenza l'iputesa di u cuntinuu, in u duminiu di l'assiomi di Zermelo-Fraenkel, ùn hè nè dimustrevuli nè rifutevuli.

Cantor sviluppò ancu a tiuria di i numari ordinali transfiniti, chì generalizeghjani à l'insemi infiniti a nuzioni d'urdinamentu è di pusizioni d'un elementu à l'internu d'un urdinamentu.

Un asempiu hè u tiurema di Goodstein, chì pò essa risoltu sulamenti incù l'aiutu di i prubità di l'ordinali transfiniti, mentri ùn hè micca dimustrevuli incù i soli assiomi di Peano.

In rifirimentu à a nuzioni di limita

In u studiu di i limiti s'adopra u simbulu ${\displaystyle \infty }$, chì calchì volta hè puri indicatu cù u terminu lemniscata.

Hè utuli di serva si di dui entità culligati incù l'infinitu: l'insemu riali stesu hè l'unioni di i numari riali incù dui punti, indicati incù ${\displaystyle -\infty }$ è ${\displaystyle +\infty }$. In simbuli:

${\displaystyle {\tilde {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}.}$

A rilazioni d'ordini di i riali si stendi à sti novi punti punendu:

${\displaystyle -\infty <x~,~x<+\infty ~}$ par ogni ${\displaystyle x}$ riali;

ci sò inveci i limitazioni par istenda l'uparazioni aritmetichi à tali entità (${\displaystyle +\infty -\infty$ ?} ).

Da un puntu di vista tupulogicu si tratta d'una cumpattificazioni di a retta riali incù l'aghjunta di dui punti.

A nuzioni d'infinitu sicondu l'analisi non standard

Una minzioni à parti mireta l'analisi non standard, intrudutta da Abraham Robinson in u 1966: à u cuntrariu di l'analisa matematica cumuna, in edda l'infinit (indicati incù Ω) è infinitesimi (ε) ani piena cittatinanza trà i numari, è à tempu cù i riali formani i numari iperreali. Par asempiu 1 è 1+ε sò numari iperreali distinti. In cuntrastu cù i numari cumplessi, hè pussibuli à ottena un urdinamentu di i numari iperreali grazia à u cuncettu d'ultrafiltru. L'analisi non standard hè parfittamenti cuerenti, è simplificheghja i dimustrazioni di molti tiuremi, tantu in u calculu infinitesimali ch'è in a tiuria di i numari.

Punti è retti à l'infinitu in giumitria prughjittiva

In giumitria prughjittiva inveci hè naturali di cumplittà i retti incù u so, unicu, puntu à l'infinitu, ughjettu chjamatu puntu impropriu o dirizzioni di a retta; 'ssa nuzioni, in particulari, parmetti d'ùn dì micca ch'è ancu dui retti paralleli ani un puntu in cumunu, u so puntu à l'infinitu. Inoltri in u pianu prughjittivu si culloca ancu a retta impropria, insemu di i punti impropri (à l'infinitu) di i diffarenti retti.

Da veda dinò

• Lemniscata
• Insemu infinitu
• Insemu finitu
• Numaru cardinali
• Georg Cantor
• Argumentu diagunali di Cantor
• Iputesa di u cuntinuu
• Limita (matematica)
• Numeru

Noti

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.