From Wikipedia, the free encyclopedia
En anàlisi complexa, el gran Teorema de Picard i el petit Teorema de Picard són dos teoremes relacionats entre si que tracten sobre el recorregut d'una funció analítica. Reben aquest nom pel matemàtic Charles Émile Picard.
|
Esbós de demostració |
---|
La demostració original de Picard es basa en les propietats de la funció modular lambda, notada per λ, i que fa que, en terminologia moderna, el disc unitari realitzi un revestiment universal holomorf del pla amb dos forats. Aquesta funció es construeix explícitament en la teoria de funcions el·líptiques. Si f omet dos valors, llavors la composició de f amb la inversa de la funció modular aplica el pla en el disc unitat, amb la qual cosa f és constant pel Teorema de Liouville. |
Aquest teorema és una versió significativament més forta que el teorema de Liouville, que estableix que la imatge d'una funció entera no constant ha de ser no fitada. Posteriorment hi hagué altres versions del teorema de Picard, de les quals el Teorema de Schottky n'és una versió quantitativa.
|
Aquesta és una versió significativament més forta que el Teorema de Weierstrass-Casorati, que només garanteix que el recorregut de f és dens dins del pla complex.
És necessari considerar l'"excepció" a ambdós teoremes, com es pot veure amb aquests contraexemples:
El Gran Teorema de Picard també és cert pel cas general de funcions meromorfes:
|
Exemple: La funció meromorfa f(z) = 1/(1 − e1/z) té una singularitat essencial a z = 0, i pren el valor ∞ infinites vegades en qualsevol entorn de 0; però mai pren els valors 0 ni 1.
Amb aquesta generalització, el Petit Teorema de Picard és una conseqüència del Gran Teorema de Picard, ja que una funció entera és o bé un polinomi, o bé té una singularitat essencial a l'infinit.[1]
La següent conjectura està relacionada amb el "Gran Teorema de Picard".[2]
|
És fàcil veure que les diferencials es combinen en una 1-forma holomorfa g dz sobre D \ {0}. En el cas especial que el residu de g al punt 0 és zero, la conjectura és una conseqüència del "Gran Teorema de Picard".
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.