Teorema dels zeros de Hilbert

El teorema dels zeros de Hilbert, anomenat de vegades Nullstellensatz, és un teorema central de geometria algebraica que relaciona els ideals amb les varietats algebraiques. Fou demostrat pel matemàtic alemany David Hilbert.

Enunciat

Existeixen diverses formulacions equivalents del teorema dels zeros de Hilbert.

Teorema 1

Si K és un cos i, ${\displaystyle (a_{i})_{1\leq i\leq n}\in K^{n}}$, llavors l'ideal I := (X₁−a₁, ...,X_n−a_n) és un ideal maximal de K[X₁, ...,X_n].

Demostració

Per demostrar que I és màxim, es demostrarà que ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/\ I}$ és un cos.

Es considera el morfisme d'anells suprajectiu ${\displaystyle \phi :K[X_{1},\dots ,X_{n}]\rightarrow K}$:

${\displaystyle P\mapsto P(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi }$ és un morfisme d'anells suprajectiu: ${\displaystyle \forall \lambda \in K\ P(X_{1},...X_{n}):=\Pi _{i=1}^{n}(X_{i}-a_{i})+\lambda \in K[X_{1}....,X_{n}]\ et\ \phi (P)=\lambda }$.

Es té ${\displaystyle K[X_{1},...X_{n}]/\ Ker(\phi )\approx K}$, amb K un cos, per tant ${\displaystyle Ker(\phi )}$ és un ideal maximal.

Ara es demostra que ${\displaystyle Ker(\phi )=(X_{1}-a_{1},...,X_{n}-a_{n})}$

Sia ${\displaystyle P\in K[X_{1},...,X_{n}]}$ i es divideix per ${\displaystyle X_{1}-a_{1}}$. Es té ${\displaystyle P=(x_{1}-a_{1})Q_{1}+R_{1}\ avec\ R_{1}\in K[X_{2},...,X_{n}]}$ Per recurrència sobre n, es té: ${\displaystyle P=(X_{1}-a_{1})Q_{1}+(X_{2}-a_{2})Q_{2}+....+(X_{n}-a_{n})Q_{n}+R_{n}\ avec\ R_{n}\in K}$

I finalment ${\displaystyle P\in Ker(\phi )\Leftrightarrow R_{n}=0\Leftrightarrow P\in (X_{1}-a_{1},....,X_{n}-a_{n})}$.

Teorema 2

Sia K un cos, L una K-àlgebra de tipus finit.

Si L és un cos, llavors L és una extensió algebraica de K.

Teorema 3 (Nullstellensatz)

Sia K és un cos algebraicament tancat, es té:

Si M és un ideal maximal de l'anell de polinomis en n indeterminades K[X₁, ...,X_n], llavors existeix ${\displaystyle (a_{1},\dots a_{n})\in K^{n}}$ tal que ${\displaystyle M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}$, és a dir, llavors M és un ideal maximal de punt.

Demostració

Sia M un ideal maximal de ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}$.

${\displaystyle L:=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\ M}$ és una K-àlgebra de tipus finit, i L és un cos perquè M és maximal.

Segons el teorema 2, L és una extensió algèbrica de K el qual és ell mateix algèbricament tancat.

Per tant es té K=L.

Per tant ${\displaystyle \forall i\,\ \exists a_{i}\in K\ tal\ que\ {\bar {X}}_{i}={\bar {a}}_{i}\Rightarrow {\bar {X}}_{i}-{\bar {a}}_{i}=0\Rightarrow X_{i}-a_{i}\in M}$.

Es té, per tant ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\subset M}$, però com que M és màxim, es té la igualtat.

Teorema 4 (Existència dels zeros)

Si K és un cos algèbricament tancat, llavors per a tot ideal propi J de K[X₁, ...,X_n], es té que la varietat algebraica que genera, V(J) no és buida. Encara més, I(V(J)) = rad J, on rad indica el radical de l'ideal J.

Demostració

Sia K un cos algebraicament tancat. Sia I un ideal que compleix la condició. I està inclòs en un ideal màxim M, d'on segons el teorema 3, ${\displaystyle M=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,}$ i per tant ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in V(I)\Rightarrow I\neq \varnothing .}$