Simetria esfèrica

La simetria esfèrica és la simetria respecte a un punt central, de manera que un sistema físic o geomètric té simetria esfèrica quan tots els punts a una certa distància del punt central són equivalents.

Física

Un cert nombre de problemes físics d'interès, especialment relacionats amb la teoria de camps, els medis continus o la teoria quàntica són més fàcils de resoldre quan les dades de partida té simetria esfèrica, ja que la solució per a certes magnituds incògnites també tindrà simetria esfèrica. Això permet reduir un problema amb tres coordenades espacials a un problema d'una variable (variable radial). Per exemple en diverses àrees de la resolució de certs problemes requereix estudiar l'equació de Poisson següent:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=\rho ({\vec {x}})}$

Quan la funció "font" té simetria esfèrica, és a dir:

${\displaystyle \rho (x,y,z)={\tilde {\rho }}({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\,}$

El problema pot reformular en termes de dues variables com:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\tilde {\varphi }}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\varphi }}}{\partial z^{2}}}={\tilde {\rho }}(r)}$

On:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho (x,y,z)={\tilde {\rho }}({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}),&{\tilde {\rho }}(r)=\rho (r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )\\\varphi (x,y,z)={\tilde {\varphi }}({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}),&{\tilde {\varphi }}(r,z)=\varphi (r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )\end{cases}}}$

Teoria de grups

Donat un problema geomètric o físic caracteritzat per un cert nombre de magnituds escalars ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$ o propietats tensorials ${\displaystyle T(\mathbf {x} )\in {\mathcal {T}}_{q}^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ es diu que el problema té simetria esfèrica si hi ha representacions F _{p, q} del grup SO (3):^[1]

${\displaystyle F_{p,q}:SO(3)\to {\mathcal {T}}_{q}^{p}(\mathbb {R} ^{n})\otimes {{\mathcal {T}}_{q}^{p}}^{*}(\mathbb {R} ^{n})}$

Tals que:

${\displaystyle [F_{p,q}(\mathbf {T} )](F_{1,0}(\mathbf {x} ))=\mathbf {T} (\mathbf {x} ),\quad \phi (F_{1,0}(\mathbf {x} ))=\phi (\mathbf {x} )}$

Aquesta última expressa la condició que el fet de girar el sistema d'eixos deixa forminvariantes les quantitats bàsiques que caracteritzen el problema.

Vegeu també

• Simetria axial

Referències

1. Galindo i Pascual, pàg. 239-250.

Bibliografia

• Girbau, J.: Geometria diferencial i relativitat , Ed Universitat Autònoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Galindo, A. i Pascual P.: Mecànica quàntica , Ed Eudemo, Barcelona, 1989, ISBN 84-7754-042-X.