Progressió geomètrica

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.

Progressió geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2

Una successió geomètrica amb raó ${\displaystyle r\neq 0}$ i primer terme ${\displaystyle a}$ és

${\displaystyle a,\,ar,\,ar^{2},ar^{3},\dots }$

Se sol denotar per ${\displaystyle a_{n}}$ al terme que ocupa la posició ${\displaystyle n}$ de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\cdot r}$

Exemples

• La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó ${\displaystyle r=2}$ i primer terme ${\displaystyle a_{1}=1}$ .
• La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó ${\displaystyle r=2/3}$ i primer terme ${\displaystyle a_{1}=729}$ .
• La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó ${\displaystyle r=-1}$ i primer terme ${\displaystyle a_{1}=3}$ .

Terme general

Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme ${\displaystyle a_{1}}$ i de la raó ${\displaystyle r}$ mitjançant la següent fórmula anomenada terme general:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1},\forall n\in \mathbb {N} }$

Suma de termes consecutius d'una progressió geomètrica

La suma dels primers ${\displaystyle n}$ termes de la successió ${\displaystyle a_{n}}$ és

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

En el cas que ${\displaystyle r=1}$, aleshores ${\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot n}$. Si ${\displaystyle r\neq 1}$, aleshores^[1]

${\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

La suma és ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}$ Multipliquem ambdós costats per ${\displaystyle 1-r}$ i desenvolupem l'expressió de la dreta: ${\displaystyle (1-r)S_{n}=(1-r)(a_{1}+\cdots +a_{n})=(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{1}r+\cdots +a_{n}r)=}$ ${\displaystyle =(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}.}$ D'on, aïllant ${\displaystyle S_{n}}$, obtenim ${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n+1}}{1-r}}={\frac {a_{1}-a_{1}r^{n}}{1-r}}=a_{1}\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}}$

Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:

${\displaystyle S_{n}=2\cdot {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=242}$

Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica

Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat, ${\displaystyle |r|<1}$, aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:^[1]

${\displaystyle S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-r}}}$

Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:

${\displaystyle S_{\infty }={\frac {1}{1-1/5}}={\frac {5}{4}}}$

Monotonia

Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior (${\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}}$), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior (${\displaystyle a_{n}\leq a_{n-1}}$), constant quan tots els termes són iguals (${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}}$) i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan ${\displaystyle r<0}$).^[2]

Monotonia en funció del primer terme ${\displaystyle a_{1}}$ i de la raó ${\displaystyle r}$:^[3]

${\displaystyle a_{1}>0}$	${\displaystyle r>1}$	creixent
	${\displaystyle 0<r<1}$	decreixent
${\displaystyle a_{1}<0}$	${\displaystyle r>1}$	decreixent
	${\displaystyle 0<r<1}$	creixent
	${\displaystyle r=1}$	constant
	${\displaystyle r<0}$	alternada

Vegeu també

• Progressió aritmètica
• Sèrie geomètrica

Referències

1. W., Weisstein, Eric. «Geometric Series» (en anglès). [Consulta: 15 maig 2020].
2. Sapiña, R. «Problemes resolts de progressions geomètriques» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 15 maig 2020].
3. Llopis, José L. «Successions o progressions geomètriques» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 15 maig 2020].