Potència de dos

Una potència de dos és qualsevol dels nombres obtinguts en elevar el nombre dos a una potència sencera no negativa, o, equivalentment, el resultat de multiplicar 2 per si mateix un nombre enter (i no negatiu) de vegades. Noteu que el nombre 1 és una potència de dos (la potència zero). Les potències de dos es caracteritzen per representar de la forma 100 … 0 al sistema binari, de la mateixa manera que es representen les potències de 10 en el sistema decimal.

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

Com que el nombre 2 és la base del sistema binari, les seves potències prenen rellevància en les ciències computacionals. Concretament, dos elevat a la potència n és el nombre de «paraules» que es poden formar amb n bits. Això fa que el major nombre sencer que es pot emmagatzemar en un programa informàtic sigui un menys que una potència de dos (un menys perquè el menor nombre no és l'1, sinó el 0).

Un nombre primer que és un menys que una potència de dos (per exemple, 31 = 2⁵ - 1) rep el nom de nombre primer de Mersenne, mentre que un nombre primer que és un més que una potència de dos (com el 257 = 2⁸+1) rep el nom de nombre primer de Fermat. Una fracció el denominador de la qual sigui una potència de dos és una fracció diàdica.

Les 96 primeres potències de 2

20	=	1		2¹⁶	=	65,536		2³²	=	4,294,967,296		248	=	281,474,976,710,656		264	=	18,446,744,073,709,551,616		280	=	1,208,925,819,614,629,174,706,176
2¹	=	2		217	=	131,072		233	=	8,589,934,592		249	=	562,949,953,421,312		265	=	36,893,488,147,419,103,232		281	=	2,417,851,639,229,258,349,412,352
2²	=	4		218	=	262,144		234	=	17,179,869,184		250	=	1,125,899,906,842,624		266	=	73,786,976,294,838,206,464		282	=	4,835,703,278,458,516,698,824,704
23	=	8		219	=	524,288		235	=	34,359,738,368		251	=	2,251,799,813,685,248		267	=	147,573,952,589,676,412,928		283	=	9,671,406,556,917,033,397,649,408
24	=	16		220	=	1,048,576		236	=	68,719,476,736		252	=	4,503,599,627,370,496		268	=	295,147,905,179,352,825,856		284	=	19,342,813,113,834,066,795,298,816
2⁵	=	32		221	=	2,097,152		237	=	137,438,953,472		253	=	9,007,199,254,740,992		269	=	590,295,810,358,705,651,712		285	=	38,685,626,227,668,133,590,597,632
2⁶	=	64		222	=	4,194,304		238	=	274,877,906,944		254	=	18,014,398,509,481,984		270	=	1,180,591,620,717,411,303,424		286	=	77,371,252,455,336,267,181,195,264
27	=	128		223	=	8,388,608		239	=	549,755,813,888		255	=	36,028,797,018,963,968		271	=	2,361,183,241,434,822,606,848		287	=	154,742,504,910,672,534,362,390,528
28	=	256		224	=	16,777,216		240	=	1,099,511,627,776		256	=	72,057,594,037,927,936		272	=	4,722,366,482,869,645,213,696		288	=	309,485,009,821,345,068,724,781,056
2⁹	=	512		225	=	33,554,432		241	=	2,199,023,255,552		257	=	144,115,188,075,855,872		273	=	9,444,732,965,739,290,427,392		289	=	618,970,019,642,690,137,449,562,112
2¹⁰	=	1,024		226	=	67,108,864		242	=	4,398,046,511,104		258	=	288,230,376,151,711,744		274	=	18,889,465,931,478,580,854,784		290	=	1,237,940,039,285,380,274,899,124,224
211	=	2,048		227	=	134,217,728		243	=	8,796,093,022,208		259	=	576,460,752,303,423,488		275	=	37,778,931,862,957,161,709,568		291	=	2,475,880,078,570,760,549,798,248,448
212	=	4,096		228	=	268,435,456		244	=	17,592,186,044,416		260	=	1,152,921,504,606,846,976		276	=	75,557,863,725,914,323,419,136		292	=	4,951,760,157,141,521,099,596,496,896
213	=	8,192		229	=	536,870,912		245	=	35,184,372,088,832		261	=	2,305,843,009,213,693,952		277	=	151,115,727,451,828,646,838,272		293	=	9,903,520,314,283,042,199,192,993,792
2¹⁴	=	16,384		2³⁰	=	1,073,741,824		246	=	70,368,744,177,664		262	=	4,611,686,018,427,387,904		278	=	302,231,454,903,657,293,676,544		294	=	19,807,040,628,566,084,398,385,987,584
215	=	32,768	231	=	2,147,483,648	247	=	140,737,488,355,328	263	=	9,223,372,036,854,775,808	279	=	604,462,909,807,314,587,353,088	295	=	39,614,081,257,132,168,796,771,975,168

Es pot veure que començant amb 2 l'últim dígit acaba sent periòdic amb el cicle 2–4–8–6–, i començant amb 4 els últims dos dígits són periòdics amb el període 20. Aquests patrons són generalment certs en qualsevol potència, respecte en qualsevol base. El patró continua, evidentment, en cada patró que comença en el punt de llargada 2^k d'ordre multiplicatiu de 2 mòdul de 5^k.