Partició (matemàtiques)

En matemàtiques, una partició d'un conjunt és una subdivisió en diversos subconjunts no buits, de forma que cada element del conjunt pertany a un, i només un, dels subconjunts. Més formalment, donat un conjunt A, una partició de A és un conjunt {A_i | i ∈ I} de parts de A tal que

1. Els A_i són no buits.
2. ${\displaystyle \cup _{i\in I}A_{i}=A}$.
3. Si ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}\neq \emptyset }$ aleshores ${\displaystyle A_{i}=A_{j}}$.

Partició d'un disc en 6 parts.

Exemples

• Tot conjunt d'un element {x} té exactament una partició: { {x} }.
• Per a qualsevol conjunt no buit X, P = {X} és una partició de X.
• El conjunt {1, 2, 3} té aquestes 5 particions:
  • { {1},{2},{3} }
  • { {1,2},{3} }
  • { {1,3},{2} }
  • { {1},{2,3} }
  • { {1,2,3} }
• Observeu que
  • { {},{1,3},{2} }, no és una partició (ja que conté el conjunt buit).

El nombre de particions d'un conjunt finit

Tot conjunt finit té un nombre finit de particions possibles. Aquestes particions es poden determinar mitjançant combinatòria.

Per exemple, donat el conjunt {1,2,3,4}, aquestes són totes les particions possibles:

1 subconjunt: {1,2,3,4}

2 subconjunts: {1}{2,3,4}; {2}{1,3,4}; {3}{1,2,4}; {4}{1,2,3}; {1,2}{3,4}; {1,3}{2,4}; {1,4}{2,3}

3 subconjunts: {1,2}{3}{4}; {1,3}{2}{4}; {1,4}{2}{3}; {2,3}{1}{4}; {2,4}{1}{3}; {3,4}{1}{2}

4 subconjunts: {1}{2}{3}{4}

El nombre de Bell B_n, anomenat així en honor d'Eric Temple Bell, és el nombre de particions diferents d'un conjunt finit de n elements. Els primers nombres de Bell són:^[1]

B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203

Els nombres de Bell satisfan la següent relació recursiva: ${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}}$.