Mètode d'exhaustió

El mètode d'exhaustió és un mètode per a trobar l'àrea d'una superfície plana limitada per una corba a base d'inscriure-li una successió de polígons les àrees dels quals convergeixen cap a l'àrea de la superfície que els conté. Si la successió es construeix correctament, la diferència en àrea entre el polígon n-èsim i la superfície que el conté esdevindrà arbitràriament petita a mesura que n esdevé gran. Com que aquesta diferència esdevé arbitràriament petita, els valors possibles per a l'àrea de la superfície són sistemàticament "exhaurits" per les fites inferiors que queden establertes pels membres de la successió. La idea original va ser d'Antifont, tot i que no està del tot clar fins a quin punt la va entendre.^[1] Èudox de Cnidos és qui va plantejar la teoria de forma rigorosa. El primer que va utilitzar l'expressió "mètode d'exhaustió" va ser Grégoire de Saint-Vincent a Opus geometricum guadraturae circuli et sectionum coni el 1647.

Aquest article tracta el mètode de trobar l'àrea d'una superfície limitada per una corba a base d'exhaurir la diferència entre l'àrea de la corba i l'àrea d'un polígon inscrit. Pel mètode de demostració a base d'exhaurir tots els casos possibles vegeu Demostració per exhaustió

El mètode d'exhaustió s'ha vist com un precursor dels mètodes del càlcul infinitesimal. El desenvolupament de la geometria analítica i del càlcul integral entre els segles XVII i XIX (en particular la definició rigorosa del límit) han susumit el mètode d'exhaustió de forma que actualment no es fa servir de forma explícita per a la resolució de problemes.

Quadratura del cercle pel mètode d'exhaustió emprat per Arquímedes

Arquímedes va emprar el mètode d'exhaustió com una forma de calcular π a base d'omplir el cercle amb polígons amb un nombre més i més gran de costats. El quocient de l'àrea d'aquests polígons dividida entre el quadrat del radi del cercle esdevé arbitràriament proper al valor real de π a mesura que el nombre de cares del polígon es fa gran.

Altres resultats obtinguts amb el mètode d'exhaustió inclouen^[2]

• L'àrea limitada per una recta i una paràbola és 4/3 de la del triangle de la mateixa base i alçada;
• L'àrea d'una el·lipse és proporcional a la del rectangle de cares iguals als eixos de l'el·lipse;
• El volum d'una esfera és 4 cops el del con amb el mateix radi de la base i alçada igual al radi;
• El volum d'un cilindre d'alçada igual al diàmetre és 3/2 del de l'esfera del mateix diàmetre;
• L'àrea limitada per una espiral i un segment recte és 1/3 de la del cercle que té un radi igual a la longitud del segment;
• La utilització del mètode d'exhaustió també va portar (per primer cop) a l'avaluació amb èxit d'una sèrie geomètrica.

Una nova forma del mètode d'exhaustió^[3] subministra una fórmula per avaluar una integral definida de qualsevol funció contínua:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{f(x)\,dx=\left({b-a}\right)}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)/2^{n}).}$

Pot ser útil emprar aquesta fórmula quan no existeixen primitives elementals. També pot ser útil en l'ensenyament del càlcul integral.

Referències

1. «Antiphon biography».
2. Smith, David E. History of Mathematics. New York: Dover Publications, 1958. ISBN 0-486-20430-8.
3. «PlanetMath: Derivation of a definite integral formula using the method of exhaustion.». Arxivat de l'original el 2006-07-10. [Consulta: 22 maig 2006].