Hipocicloide

Una hipocicloide és una corba plana transcendint, que és la trajectòria d'un punt fixat en una circumferència que roda sense lliscar sobre una altra circumferència anomenada directriu i dins d'aquesta. Es tracta per tant d'un cas particular de corba cicloïdal.

• Exemples de hipocicloides
• 
  k=3 - una deltoide
• 
  k=4 - una astroide
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2.1
• 
  k=3.8
• 
  k=5.5
• 
  k=7.2

Construcció d'una hipocicloide

Etimologia i història

La paraula és una extensió de cicloide, inventada el 1599 per Galileo Galilei, i té la mateixa etimologia: ve del grec hupo (sota), kuklos (cercle, roda) i eidos (forma, «semblant a»).

La corba mateixa va ser estudiada per Albrecht Dürer el 1525, Rømer el 1674 (que la va batejar) i Daniel Bernoulli el 1725.

Definició matemàtica

Una hipocicloide pot ser definida per l'equació paramètrica següent:

${\displaystyle x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos({\frac {R-r}{r}}\theta )\,\qquad (1)}$

${\displaystyle y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin({\frac {R-r}{r}}\theta )\,\qquad (2)}$

on ${\displaystyle R\,}$ és el radi de la circumferència de base i ${\displaystyle r\,}$ el de la circumferència rodant. Amb ${\displaystyle q={R \over r}}$, per tant aquesta equació també es pot escriure:

${\displaystyle x(\theta )=r\left[(q-1)\cos \theta +\cos(q-1)\theta \right]\,}$

${\displaystyle y(\theta )=r\left[(q-1)\sin \theta -\sin(q-1)\theta \right]\,}$

Definició en el pla complex

Pot ser útil passar en notació complexa, ${\displaystyle z=x+iy}$ i s'obté l'equació següent:

${\displaystyle z(\theta )=(R-r)e^{i\theta }+re^{-{\frac {R-r}{r}}i\theta }\,.}$

Si es desitja a més fer intervenir el temps t per expressar la velocitat a la qual es descriu el moviment, cal introduir les dues velocitats angulars ${\displaystyle \omega _{1}={\frac {\theta }{t}}={\frac {r}{R-r}}\omega _{2}\,.}$

La coordenada complexa del centre de la circumferència petita és simplement ${\displaystyle (R-r)e^{i\omega _{1}t}}$ i la d'un punt de la circumferència petita respecte al seu centre ${\displaystyle re^{-i\omega _{2}t}}$. La suma d'aquests dos nombres complexos dona llavors la coordenada complexa d'un punt de la circumferència petita respecte al centre de la gran.

Així i més generalment, es pot definir una hipocicloide per la seva equació en el pla complex:

${\displaystyle z(t)=r_{1}e^{i\omega _{1}t}+r_{2}e^{-i\omega _{2}t}\qquad }$ amb la condició ${\displaystyle \qquad r_{1}\omega _{1}=r_{2}\omega _{2}\qquad \qquad (3)}$

En efecte la condició ${\displaystyle r_{1}\omega _{1}t=r_{2}\omega _{2}et}$ expressa la igualtat de les longituds dels arcs de les circumferències petita i gran recorreguts durant el temps t pel punt de contacte i per tant indica que la circumferència petita no llisca en la seva rotació al si de la gran. Per això quan un punt de la circumferència petita, és a dir de la hipocicloide, entra en contacte amb la gran, la seva velocitat és nul·la la qual cosa correspon a un punt de retrocés.

Finalment, s'observa que la definició de l'equació (3) pot ser interpretada geomètricament d'una altra manera (propietat de la doble generació) basant-se en la propietat commutativa de la suma de dos vectors i que la hipocicloide és també la suma d'un petit moviment circular ${\displaystyle r_{2}}$ al qual s'afegeix un gran moviment circular en sentit oposat ${\displaystyle r_{1}}$.

Propietats

La corba està formada per arcs isomètrics (anomenats arcs) separats per punts de retrocés. Si q és racional (i es pot per tant escriure q=a/b on a i b són enters), a representa el nombre d'arcs de la corba. També es poden veure aquestes dues magnituds de la manera següent:

• a representa el nombre de rotacions de la circumferència que roda necessàries per portar el punt mòbil a la seva posició de sortida
• b representa el nombre de voltes de la circumferència base necessàries a la circumferència que roda per tornar al punt de sortida.

Els punts de retrocessos s'obtenen per ${\displaystyle \theta ={\frac {2k\pi }{q}}}$. La longitud d'un arc és de ${\displaystyle 8{\frac {q-1}{q^{2}}}R}$.

Si q és enter, la longitud total de la corba val ${\displaystyle {4 \over \pi }(1+{1 \over q})}$ vegades la longitud de la circumferència base, i l'àrea total val ${\displaystyle (1-{1 \over q})(1-{2 \over q})}$ vegades la de la circumferència base.

El teorema de la doble generació prova que una hipocicloide és també una pericicloïde, és a dir la corba descrita per un punt d'una circumferència de radi r+R rodant sense lliscar sobre aquesta circumferència directora al continent.

Les petites oscil·lacions del pèndol de Foucault formen també una hipocicloide.

Vegeu també

Motor Murray en moviment.

• Quan el punt mòbil no està fixat sobre la circumferència que roda sinó a l'exterior o l'interior d'aquesta es parla llavors de hypotrocoide, que és un cas particular de trocoide. D'altra banda, l'espirògraf realitza hypotrocoides.
• Quan la circumferència mòbil gira fora de la circumferència directriu, la corba dibuixada s'anomena llavors epicicloide.
• Si R = 2r, la hipocicloide és un diàmetre de la circumferència base (vegeu el Teorema de La Hire).
• Si R = 3r, la hipocicloide és una deltoide. S'obté una figura idèntica si R = 3/2 x r. en Aquest Cas, es tracta també de l'envolvent del diàmetre de la circumferència que roda.
• Si R = 4r, la hipocicloide és una astroide. Obtenim, doncs, una figura idèntica si R = 4/3 x r. En aquest cas, es tracta igualment de l'envolvent del segment de llargada constant R en el qual les extremitats descriuen els eixos d'una referència ortonormal.

Bibliografia

• Marcel Berger, Géométrie (Tomo 1).
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
• Petite encyclopédie de mathématique (Ed. Didier)
• Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel

Vegeu també

• Ciclògon
• Cicloide
• Epicicloide

Enllaços externs

• Al lloc web MathCurve.com
• Une Applet que permet jugar amb els paràmetres de construcció d'una hipocicloide