Funció zeta local

En matemàtiques, en la teoria de nombres, la funció zeta local ${\displaystyle Z(V,s)}$ (de vegades anomenada funció zeta congruent) es defineix com

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}(q^{-s})^{m}\right)}$

on ${\displaystyle N_{m}}$ és el nombre de punts de ${\displaystyle V}$ definit sobre extensió de cossos de grau ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{m}}}$ de ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$, i ${\displaystyle V}$ és una varietat algebraica projectiva ${\displaystyle n}$- dimensional no-singular sobre el camp ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ amb ${\displaystyle q}$ elements. Per la transformació de variables ${\displaystyle u=q^{-s}}$, es defineix

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}{\frac {u^{m}}{m}}\right)}$

com la sèrie formal de potències de la variable ${\displaystyle u}$.

De manera equivalent, la funció zeta local de vegades es defineix de la següent manera:

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{du}}\log {\mathit {Z}}(V,u)=\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}u^{m-1}\ .}$

En altres paraules, la funció zeta local ${\displaystyle Z(V,u)}$ amb coeficients en el camp finit ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$es defineix com una funció derivada logarítmica que genera els nombres ${\displaystyle N_{m}}$ per a la quantitat de solucions d'un conjunt d'equacions definides en un camp finit ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$, en l'extensió de cossos de grau ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{m}}}$ de ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$.

Formulació

Donat un camp finit ${\displaystyle F}$,hi ha, fins a l'isomorfisme, només un camp ${\displaystyle F_{k}}$ amb

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$,

per a ${\displaystyle k=1,2,\dotsb }$. Donat un conjunt d'equacions polinòmiques (o una varietat algebraica ${\displaystyle V}$) definida sobre ${\displaystyle F}$, podem comptar el nombre ${\displaystyle N_{k}\,}$ de solucions a ${\displaystyle F_{k}}$ i crear la funció generatriu

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}{\frac {t^{2}}{2}}++N_{3}{\frac {t^{3}}{3}}+\dotsb }$

La definició correcta per a ${\displaystyle Z(t)}$ és fer el ${\displaystyle \log Z}$ igual a ${\displaystyle G}$, i així

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

obtenint ${\displaystyle Z(0)=1}$ on ${\displaystyle G(0)=0}$, i ${\displaystyle Z(t)}$ és a priori una sèrie formal de potències.

S'ha de tenir en compte que la derivada logarítmica

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

és igual a la funció generatriu

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Exemples

Per exemple, assumir que totes les opcions ${\displaystyle N_{k}}$ siguin ${\displaystyle 1}$; això passa, per exemple, si comencem per una equació com ${\displaystyle X=0}$, de manera que geomètricament estem fent ${\displaystyle V}$ un punt. Llavors

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

és l'expansió d'un logaritme (per a ${\displaystyle \left\vert t\right\vert <1}$). En aquest cas, tenim

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

Per fer alguna cosa més interessant, deixem que ${\displaystyle V}$ sigui la línia projectada sobre ${\displaystyle F}$. si ${\displaystyle F}$ té ${\displaystyle q}$elements, llavors hi ha ${\displaystyle q+1}$ punts, incloent com hem de fer el punt de l'infinit. Per tant, tindrem

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

i

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

per a ${\displaystyle b\left\vert t\right\vert }$.

En aquest cas tenim

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

El primer estudi d'aquestes funcions va ser en la tesi d'Emil Artin de 1923. Va obtenir resultats per al cas de la corba hiperel·líptica i va conjeturar els principals punts principals de la teoria tal com s'aplica a les corbes. La teoria va ser desenvolupada per F. K. Schmidt i Helmut Hasse.^[1] Els primers casos no trivials coneguts de les funcions zeta locals estaven implícites en Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, article 358; hi ha certs exemples particulars de corbes el·líptiques sobre camps finits que tenen una multiplicació complexa, tenen els seus punts explicats per mitjà de la ciclotomia.^[2]

Per a la definició i alguns exemples, vegeu també [Hartshorne, 1977].^[3]

Motivacions

La relació entre les definicions de ${\displaystyle G}$ i ${\displaystyle Z}$ es pot explicar de diverses maneres (vegeu, per exemple, la fórmula de producte infinit per a ${\displaystyle Z}$ a continuació.) A la pràctica, fa ${\displaystyle Z}$ una funció racional de ${\displaystyle t}$, cosa que és interessant fins i tot en el cas de ${\displaystyle V}$ una corba el·líptica sobre camp finit.

Les funcions ${\displaystyle V}$ són dissenyades per multiplicar-se, per obtenir funcions zeta globals. Aquests involucren diferents camps finits (per exemple, tota la família dels camps ${\displaystyle {\frac {Z}{pZ}}}$ quan ${\displaystyle p}$ corre sobre tots els nombres primers). En aquesta connexió, la variable ${\displaystyle t}$ experimenta la substitució per ${\displaystyle a^{-s}}$, on ${\displaystyle s}$ és la variable complexa tradicionalment utilitzada a les sèries de Dirichlet (per obtenir més informació, consultar la funció zeta de Hasse-Weil).

Amb aquesta comprensió, sorgeixen els productes de la ${\displaystyle Z}$ en els dos casos utilitzats com a exemples ${\displaystyle \zeta (s)}$ i ${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$.

Hipòtesi de Riemann per a corbes sobre cossos finits

Per a les corbes projectives ${\displaystyle C}$ sobre ${\displaystyle F}$ que són no-singulars, es pot demostrar que

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

amb ${\displaystyle P(t)}$ un polinomi, de grau ${\displaystyle 2g}$ on ${\displaystyle g}$ és el genus de ${\displaystyle C}$. Reescrivint

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

la hipòtesi de Riemann per a corbes sobre cossos finits és

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

Per exemple, per al cas de la corba el·líptica hi ha dues arrels, i és fàcil mostrar els valors absoluts de les ${\displaystyle q^{\frac {1}{2}}}$arrels. El teorema de Hasse és que tenen el mateix valor absolut; i això té conseqüències immediates pel nombre de punts.

André Weil ho va demostrar per al cas general, al voltant de 1940 (Comptes Rendus note, abril de 1940); va passar molt de temps en els anys posteriors a la redacció de la geometria algebraica. Això el va portar a les conjectures generals de Weil, Alexander Grothendieck va desenvolupar l'esquema de la teoria per solucionar-ho i, finalment, Pierre Deligne ho va demostrar una generació més tard. Vegeu cohomologia étale per a les fórmules bàsiques de la teoria general.

Fórmules generals per a la funció zeta

És una conseqüència de la fórmula de la traça de Lefschetz per al morfisme de Frobenius que

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

Aquest ${\displaystyle X}$és un esquema separat de tipus finit sobre el camp finit ${\displaystyle F}$ amb ${\displaystyle q}$ elements, i ${\displaystyle Frob_{q}}$ és el Frobenius geomètric que actua en la cohomologia étale ${\displaystyle \ell }$-àdic amb suports compactes de ${\displaystyle {\overline {X}}}$, l'aixecament de ${\displaystyle X}$al tancament algebraic del camp ${\displaystyle F}$. Això demostra que la funció zeta és una funció racional de ${\displaystyle t}$.

Una fórmula de producte infinit per a ${\displaystyle Z(X,t)}$ és

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

Aquí, el producte s'estén sobre tots els punts tancats ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, i ${\displaystyle deg(x)}$ és el grau de ${\displaystyle x}$. La funció zeta local ${\displaystyle Z(X,t)}$ es considera com una funció de la variable complexa ${\displaystyle s}$ mitjançant el canvi de ${\displaystyle q^{-s}}$variables.

En el cas on ${\displaystyle X}$ és la varietat ${\displaystyle V}$ esmentada anteriorment, els punts tancats són les classes d'equivalència ${\displaystyle x=[P]}$ dels punts ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle {\overline {V}}}$, on dos punts són equivalents si són conjugats sobre ${\displaystyle F}$. El grau de ${\displaystyle x}$ és el grau de l'extensió de camp de ${\displaystyle F}$ generat per les coordenades de ${\displaystyle P}$. La derivada logarítmica del producte infinit ${\displaystyle Z(X,t)}$ es veu fàcilment com la funció generatriu comentada anteriorment, és a dir

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Referències

1. Daniel Bump, Algebraic Geometry (1998), p. 195.
2. Barry Mazur, Eigenvalues of Frobenius, p. 244 en Algebraic Geometry, Arcata 1974: Proceedings American Mathematical Society (1974).
3. Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, p. 449 Springer 1977 APPENDIX C "The Weil Conjectures"

Vegeu també

• Conjectures de Weil
• Corba el·líptica
• Funció zeta