Funció gamma incompleta

En matemàtiques, es coneixen com a funcions gamma incompletes a dues generalitzacions de la funció gamma (també anomenada funció gamma completa) que prenen com a argument dues variables en comptes d'una. Aquestes generalitzacions es coneixen com a funció gamma incompleta superior (o, simplement, funció gamma incompleta) i funció gamma incompleta inferior.^[1]

La funció gamma incompleta superior per alguns valors del paràmetre ${\displaystyle a}$. En blau per ${\displaystyle a=0}$, en vermell per ${\displaystyle a=1}$, en verd per ${\displaystyle a=2}$, en taronja per ${\displaystyle a=3}$ i en lila per ${\displaystyle a=4}$.

Definició formal

La funció gamma incompleta superior ve donada per

${\displaystyle \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}e^{-t}\,dt}$

mentre que la funció gamma incompleta inferior ve donada per

${\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}\,dt}$.^[2]

D'aquesta manera es té una còmoda relació amb la funció gamma completa, doncs ${\displaystyle \Gamma (a)=\Gamma (a,x)+\gamma (a,x)}$ i, també, ${\displaystyle \Gamma (a)=\Gamma (a,0)\,}$.

Expressions equivalents

Per ${\displaystyle a=n\in \mathbb {N} }$ es té

${\displaystyle \Gamma (n,x)=(n-1)!\,e^{-x}\,\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$

i, per ${\displaystyle a=0}$,

${\displaystyle \Gamma (0,x)={\cfrac {e^{-x}}{x+1-{\cfrac {1}{x+3-{\cfrac {4}{x+5-{\cfrac {9}{x+7-\cdots }}}}}}}}\,}$.

Funcions de distribució

Diverses funcions de distribució són fàcilment expressables en termes de funcions gamma incompletes. Per exemple, la funció de distribució de la khi quadrat de Pearson pot expressar-se com

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2,0)}}}$,

mentre que la funció de distribució de la distribució de Poisson es pot expressar com

${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor$ !}}\qquad {\text{per }}k\geq 0\,} .