Funció finestra

Un funció finestra és una funció matemàtica usada sovint en l'anàlisi i el processament de senyals per evitar les discontinuïtats al principi i al final dels blocs analitzats. En processament de senyals, una finestra s'utilitza quan ens interessa un senyal de longitud voluntàriament limitada. En efecte, un senyal real ha de ser de temps finit, a més, un càlcul només és possible a partir d'un nombre finit de punts. Per observar un senyal en un temps finit, la multipliquem per una funció finestra.

La més simple és la finestra rectangular definida com:

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}t\in [0,T]\\0&{\mbox{resta}}\end{cases}}}$

Així, quan multipliquem un senyal ${\displaystyle s(t)}$ per aquesta finestra, obtindrem únicament els ${\displaystyle T}$ primers segons del senyal: observem el senyal en un interval ${\displaystyle T}$. En lloc d'estudiar el senyal ${\displaystyle s(t)}$, s'estudia el senyal truncat: ${\displaystyle s_{h}(t)=s(t)\cdot h(t)}$. Si passem al domini de la freqüència, mitjançant una transformada de Fourier, obtenim el producte de convolució ${\displaystyle S_{h}(f)=S(f)\ast H(f)}$, on ${\displaystyle H(f)}$ és la transformada de Fourier de la finestra.

La utilització d'una finestra canvia l'espectre en freqüència del senyal. Hi ha diferents tipus de finestra que permeten obtenir diferents resultats en el domini de les freqüències.

Finestres típiques

Algunes finestres en la seva forma discreta de mida ${\displaystyle N\,}$, on ${\displaystyle 0\leq \;n\leq \;N-1\,}$

Rectangular

Funció finestra rectangular i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=1\,}$

Hann

Funció finestra de Hann i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\,\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0,5;\quad a_{1}=0,5\quad \,}$

Sovint, la finestra de Hann apareix anomenada com a finestra de Hanning en analogia a la finestra de Hamming. Això és incorrecte, atès que els noms de les finestres es deuen a Julius von Hann i Richard Wesley Hamming respectivament. Un altre nom comú per a aquesta finestra és "cosinus elevat".

Hamming

Funció finestra de Hamming i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\,\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0,53836;\quad a_{1}=0,46164\quad \,}$

Blackman

Funció finestra de Blackman i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0,42;\quad a_{1}=0,5;\quad a_{2}=0,08\,}$

Blackman-Harris

Funció finestra de Blackman-Harris i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0,35875;\quad a_{1}=0,48829;\quad a_{2}=0,14128;\quad a_{3}=0,01168\,}$

Blackman-Nuttall

Funció finestra de Blackman-Nuttall i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0,3635819;\quad a_{1}=0,4891775;\quad a_{2}=0,1365995;\quad a_{3}=0,0106411\,}$

Flat top

Funció finestra flat-top i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N-1}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1,93;\quad a_{2}=1,29;\quad a_{3}=0,388;\quad a_{4}=0,032\,}$

Gauss

Funció finestra de Gauss i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-(N-1)/2}{\sigma (N-1)/2}}\right)^{2}}}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0,5\,}$

Triangular

Funció finestra triangular i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)={\frac {N}{2}}-\left|n-{\frac {N-1}{2}}\right|\,}$

Bartlett

Funció finestra de Bartlett i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)={\frac {N-1}{2}}-\left|n-{\frac {N-1}{2}}\right|\,}$

Bartlett-Hann

Funció finestra de Bartlett-Hann i la seva resposta de freqüència

${\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N-1}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0,62;\quad a_{1}=0,48;\quad a_{2}=0,38\,}$

Kaiser

Article principal: Finestra de Kaiser

${\displaystyle v(k)={\frac {I_{0}(\pi a{\sqrt {1-(2k/t)^{2}}})}{I_{0}(\pi a)}}}$

On ${\displaystyle I_{0}\,}$ és la funció de Bessel de primer tipus d'ordre zero i ${\displaystyle a\,}$ és un nombre real arbitrari que determina la forma de la finestra.

Vegeu també

• Transformada Discreta de Fourier
• Finestra de Kaiser