Funció beta de Dirichlet

En matemàtiques, la funció beta de Dirichlet (també coneguda com a funció beta de Catalan) és una funció especial, íntimament relacionada amb la funció zeta de Riemann. En particular, és una sèrie L de Dirichlet, concretament la funció L per al caràcter alternat de període quatre. Rep aquest nom en honor del matemàtic alemany Johann Dirichlet.

La funció beta de Dirichlet

Definició

La funció beta de Dirichlet ve definida per:

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

o, equivalentment:

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

En ambdós casos, les fórmules només són vàlides per Re(s)>0.

Altrament, la següent definció, en termes de la funció zeta de Hurwitz, és vàlida per a tot el pla complex:

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}$

Una altra definició equivalent, en termes de la funció zeta de Lerch i vàlida també en tot el pla complex, és:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}$

Equació funcional

L'equació funcional prolonga analíticament la funció beta a la part del pla complex Re(s)<0 ve donada per:

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)}$

on ${\displaystyle \Gamma (s)}$ és la funció gamma.

Valors especials

Alguns valors particulars de la funció beta són els següents:

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\arctan(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

on ${\displaystyle G}$ representa la constant de Catalan

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),}$

on ${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$ és un exemple de funció poligamma.

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}$

En general, per nombre natural ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)},}$

on ${\displaystyle E_{n}}$ representa els nombres d'Euler. Per a ${\displaystyle k}$≥0, és té que:

${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}$

Atès que ${\displaystyle E_{2k+1}=0}$, la funció s'anul·la per tot valor enter negatiu senar.

${\displaystyle s}$	Valor aproximat de ${\displaystyle \beta (s)}$	OEIS
1/5	0.5737108471859466493572665
1/4	0.5907230564424947318659591
1/3	0.6178550888488520660725389
1/2	0.6676914571896091766586909	(successió A195103 a l'OEIS)
1	0.7853981633974483096156608	(successió A003881 a l'OEIS)
2	0.9159655941772190150546035	(successió A006752 a l'OEIS)
3	0.9689461462593693804836348	(successió A153071 a l'OEIS)
4	0.9889445517411053361084226	(successió A175572 a l'OEIS)
5	0.9961578280770880640063194	(successió A175571 a l'OEIS)
6	0.9986852222184381354416008	(successió A175570 a l'OEIS)
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

Referències

• Glasser, M. L. «The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures». J. Math. Phys., vol. 14, 1972, pàg. 409. DOI: 10.1063/1.1666331.
• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Weisstein, Eric W., «Dirichlet Beta Function» a MathWorld (en anglès).