Distribució generalitzada de valors extrems

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució de valors extrems generalitzats (amb acrònim anglès GEV) ^[1] és una família de distribucions de probabilitats contínues desenvolupades dins de la teoria de valors extrems per combinar les famílies de Gumbel, Fréchet i Weibull també conegudes com a distribucions de valors extrems tipus I, II i III. Segons el teorema dels valors extrems, la distribució GEV és l'única distribució límit possible de màxims normalitzats correctament d'una seqüència de variables aleatòries independents i distribuïdes de manera idèntica.^[2] Tingueu en compte que ha d'existir una distribució límit, que requereix condicions de regularitat a la cua de la distribució. Malgrat això, la distribució GEV s'utilitza sovint com a aproximació per modelar els màxims de seqüències llargues (finites) de variables aleatòries.

Distribució generalitzada de valors extrems

Tipus	família escala de localització
Epònim	Ronald Aylmer Fisher i L. H. C. Tippett
Mathworld	ExtremeValueDistribution

En alguns camps d'aplicació, la distribució generalitzada de valors extrems es coneix com a distribució de Fisher-Tippett, que porta el nom de Ronald Fisher i LHC Tippett que van reconèixer tres formes diferents que es descriuen a continuació. No obstant això, l'ús d'aquest nom de vegades es restringeix a significar el cas especial de la distribució Gumbel. L'origen de la forma funcional comuna per a les 3 distribucions es remunta almenys a Jenkinson, AF (1955),^[3] encara que suposadament ^[4] també podria haver estat donada per von Mises, R. (1936).^[5]

Especificació

Utilitzant la variable estandarditzada ${\displaystyle s=(x-\mu )/\sigma \,,}$ on ${\displaystyle \mu \,,}$ el paràmetre d'ubicació, pot ser qualsevol nombre real, i ${\displaystyle \sigma >0}$ és el paràmetre d'escala; la funció de distribució acumulada de la distribució GEV és llavors$${\displaystyle F(s;\xi )={\begin{cases}\exp {\Bigl (}{-}\exp(-s){\Bigr )}&~~{\text{ per }}~~\xi =0\\{}\\\exp {\Bigl (}{-}(1+\xi s)^{-1/\xi }{\Bigr )}&~~{\text{ per }}~~\xi \neq 0~~{\text{ i }}~~\xi \,s>-1\\{}\\0&~~{\text{ per }}~~\xi >0~~{\text{ i }}~~\xi \,s\leq -1\\{}\\1&~~{\text{ per }}~~\xi <0~~{\text{ i }}~~\xi \,s\leq -1~,\end{cases}}}$$on ${\displaystyle \xi \,,}$ el paràmetre de forma, pot ser qualsevol nombre real. Així, per ${\displaystyle \xi >0}$, l'expressió és vàlida per ${\displaystyle s>-1/\xi \,,}$ mentre que per ${\displaystyle \xi <0}$ és vàlid per ${\displaystyle s<-1/\xi \,.}$ En el primer cas, ${\displaystyle -1/\xi }$ és el punt final inferior negatiu, on ${\displaystyle F}$ és 0; en el segon cas, ${\displaystyle -1/\xi }$ és el punt final superior positiu, on ${\displaystyle F}$ és 1. Per ${\displaystyle \xi =0}$ la segona expressió està formalment indefinida i es substitueix per la primera expressió, que és el resultat de prendre el límit de la segona, com ${\displaystyle \xi \to 0}$ en tal cas ${\displaystyle s}$ pot ser qualsevol nombre real.

Aplicacions

• La distribució GEV s'utilitza àmpliament en el tractament dels "riscos de la cua" en camps que van des de les assegurances fins a les finances. En aquest últim cas, s'ha considerat com un mitjà per avaluar diversos riscos financers mitjançant mètriques com el valor en risc.
• Tanmateix, s'ha trobat que els paràmetres de forma resultants es troben en l'interval que condueix a mitjanes i variàncies indefinides, cosa que subratlla el fet que l'anàlisi de dades fiable sovint és impossible.^[6]
• En hidrologia la distribució del GEV s'aplica a esdeveniments extrems com ara les precipitacions màximes anuals d'un dia i els abocaments fluvials.^[7] La imatge blava, feta amb CumFreq, il·lustra un exemple d'ajust de la distribució GEV a les pluges màximes anuals d'un dia classificades i mostra també el cinturó de confiança del 90% basat en la distribució binomial. Les dades de pluja es representen traçant posicions com a part de l'anàlisi de freqüència acumulada.

Referències

1. Weisstein, Eric W. «Extreme Value Distribution» (en anglès). mathworld.wolfram.com. [Consulta: 6 agost 2021].
2. Haan, Laurens. Extreme value theory: an introduction (en anglès). Springer, 2007.
3. Jenkinson, Arthur F «"The frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of meteorological elements"». Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 81, 348, 1955, pàg. 158–171. Bibcode: 1955QJRMS..81..158J. DOI: 10.1002/qj.49708134804.
4. Haan, Laurens. Extreme value theory: an introduction (en anglès). Springer, 2007.
5. von Mises, R. «"La distribution de la plus grande de n valeurs"». Rev. Math. Union Interbalcanique 1, 1936, pàg. 141–160.
6. Kjersti Aas, lecture, NTNU, Trondheim, 23 Jan 2008
7. Liu, Xin; Wang, Yu «"Quantifying annual occurrence probability of rainfall-induced landslide at a specific slope"» (en anglès). Computers and Geotechnics, 149, 2022, pàg. 104877. DOI: 10.1016/j.compgeo.2022.104877.