Distribució de Cauchy

En Probabilitat i Estadística, la distribució de Cauchy és una distribució de probabilitat de tipus continu. És una distribució ${\displaystyle t}$ de Student amb un grau de llibertat i també és la distribució del quocient de dues variables normals estàndard independents. La seva funció de densitat té una forma de campana molt semblant a la d'una distribució normal, però amb les cues més pesades, i no té esperança ni variància. S'utilitza molt en diversos camps de la física o l'economia com una alternativa a la distribució normal quan hi ha observacions atípiques.

Cauchy

Funció de densitat de probabilitat La corba lla és la distribució de Cauchy estàndard
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	Distribució t de Student i distribució de probabilitat simètrica
Epònim	Augustin Louis Cauchy i Hendrik Lorentz
Paràmetres	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ localització ${\displaystyle \gamma >0}$ escala
Suport	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!}$
fdp	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\,{\frac {\gamma }{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}}$
FD	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!}$
Quantil	${\displaystyle x_{0}+\gamma \,\tan[\pi (F-{\tfrac {1}{2}})]}$
Esperança matemàtica	no definida
Mediana	${\displaystyle x_{0}\!}$
Moda	${\displaystyle x_{0}\!}$
Variància	no definida
Coeficient de simetria	no definida
Curtosi	no definida
Entropia	${\displaystyle \log(4\pi \gamma )\!}$
FC	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$
Mathworld	CauchyDistribution

En Física també se l'anomena distribució de Cauchy-Lorentz, o distribució lorentziana, o (la funció de densitat) funció lorentziana, en honor al físic holandès Hendrik Lorentz que la va utilitzar en els seus treballs.^[1] També és coneguda com a distribució de Breit-Wigner ^[2]

Definició

La distribució de Cauchy amb paràmetre de posició ${\displaystyle \ x_{0}\in \mathbb {R} }$ i paràmetre d'escala ${\displaystyle \gamma >0}$, que es denota per ${\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$ o ${\displaystyle {\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )}$ , està definida per la funció de densitat ^[3][4] $${\displaystyle f_{x_{0},\gamma }(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {\gamma }{\gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}}={\frac {1}{\pi \,\gamma }}\,{\frac {1}{1+{\Big (}{\dfrac {x-x_{0}}{\gamma }}{\Big )}^{2}}},\quad x\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (1)}$$

Quan ${\displaystyle x_{0}=0}$, es diu que és una distribució de Cauchy simètrica o centrada en l'origen, i quan ${\displaystyle x_{0}=0}$ i ${\displaystyle \gamma =1}$ que és una distribució de Cauchy estàndard. En aquest darrer cas, escriurem la funció de densitat ${\displaystyle f}$ en lloc de ${\displaystyle f_{0,1}}$: $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {1}{1+x^{2}}}.\qquad \qquad (2)}$$Aquesta funció de densitat coincideix amb la densitat d'una distribució ${\displaystyle t}$ de Student amb un grau de llibertat, ${\displaystyle t(1)}$. Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {C}}(0,1)}$ i ${\displaystyle \ x_{0}\in \mathbb {R} }$ i ${\displaystyle \gamma >0}$, llavors, per la fórmula del canvi de variables, $${\displaystyle Y=x_{0}+\gamma X\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma ).}$$Recíprocament, si ${\displaystyle V\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$, llavors, ${\displaystyle (V-x_{0})/\gamma \sim {\mathcal {C}}(0,1)}$; però cal notar que aquesta estandarització no s'ha fet amb la mitjana i la desviació típica (que en el cas de la distribució de Cauchy no existeixen, com veurem més endavant) sinó amb els paràmetres de posició i escala.

La funció de distribució és $${\displaystyle F_{x_{0},\gamma }(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan {\Big (}{\frac {x-x_{0}}{\gamma }}{\Big )}+{\frac {1}{2}},\quad x\in \mathbb {R} .}$$

Propietats de la funció de densitat

El màxim de la funció de densitat es troba en el punt ${\displaystyle x_{0}}$, que és també el valor de la mediana i la moda. Els quartils 1r. i 3r., són ${\displaystyle Q_{1}=x_{0}-\gamma }$ i ${\displaystyle Q_{3}=x_{0}+\gamma }$. Per tant, el rang interquartil és ${\displaystyle Q_{3}-Q_{1}=\gamma }$.

Comparació amb la distribució normal

Figura 1. Funció de densitat d'una distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(0,{\sqrt {2/\pi }})}$ (en negre) i d'una distribució normal estàndard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ (en vermell)

Anem a comparar una distribució de Cauchy amb la distribució normal estàndard. Per tal que el valor màxim d'ambdues funcions de densitat coincideixi, considerarem la distribució de Cauchy amb paràmetre d'escala ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {2/\pi }}\approx 0.798}$. Siguin ${\displaystyle X\sim {\mathcal {C}}(0,{\sqrt {2/\pi }})}$ i ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$. Designem per ${\displaystyle f_{X}(x)}$ i ${\displaystyle f_{Z}(x)}$ les seves funcions de densitat respectivament, vegeu la Figura 1.

Com es veu al gràfic, la distribució normal dona més probabilitat (més àrea entre la corba i l'eix d'abscisses) a la part propera a 0, mentre que la Cauchy en dona més als valors grans (positius o negatius). Per exemple, $${\displaystyle P(-1'5\leq Z\leq 1'5)=0'87\quad {\text{i}}\quad P(-1'5\leq X\leq 1'5)=0'69.}$$

Per als valors grans, notem que les dues funcions de densitat es tallen als punts ${\displaystyle \alpha \approx \pm 1'99}$; per a ${\displaystyle \vert x\vert >\alpha }$, tenim que ${\displaystyle f_{X}(x)>f_{Z}(x),}$ la qual cosa implica que $${\displaystyle P(X>t)\geq P(Z>t),\quad {\text{per a qualsevol }}t>\alpha .}$$Per exemple, $${\displaystyle P(X>2'2)=0'111\quad {\text{i}}\quad P(Z>2'2)=0'014.}$$Es diu que la distribució de Cauchy té les cues més pesades que la distribució normal. Vegeu també la pàgina distribució amb cues pesades.

Representacions de la distribució de Cauchy

Hem comentat que una distribució de Cauchy estàndard coincideix amb una distribució ${\displaystyle t}$ de Student amb un grau de llibertat. En conseqüència, de la definició d'aquesta última distribució, si ${\displaystyle Z_{1}}$ i ${\displaystyle Z_{2}}$ són dues variables normals estàndard independents, llavors $${\displaystyle {\frac {Z_{1}}{\vert Z_{2}\vert }}\sim {\mathcal {C}}(0,1).}$$Però també tenim que $${\displaystyle {\frac {Z_{1}}{Z_{2}}}\sim {\mathcal {C}}(0,1).}$$Aquesta propietat pot demostrar-se mitjançant la transformació ${\displaystyle (Z_{1},Z_{2})\longrightarrow ({\frac {Z_{1}}{Z_{2}}},Z_{2})}$ (vegeu la fórmula de canvi de variables per a vectors aleatoris) i calculant la funció de densitat marginal de ${\displaystyle Z_{1}/Z_{2}}$; vegeu Severini ^[5] pels detalls.

Un exemple de la distribució de Cauchy

Figura 2. Exemple d'una variable aleatòria de Cauchy

Aquest exemple és de Feller.^[6] Des del punt ${\displaystyle P}$ (vegeu la Figura 2) s'emet un raig de llum sobre una línia vertical (línia vermella) amb un angle ${\displaystyle \theta }$ (positiu o negatiu) respecte la línia horitzontal ${\displaystyle PO}$. El raig toca la línia vertical en el punt ${\displaystyle A}$. Designem per ${\displaystyle d}$ la distància entre els punts ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle O}$ i per ${\displaystyle X}$ la distància (positiva o negativa) entre els punts ${\displaystyle O}$ i ${\displaystyle A}$. Si l'angle ${\displaystyle \theta }$ s'escull a l'atzar uniformement en ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ , llavors ${\displaystyle X}$ té una distribució de Cauchy amb paràmetre d'escala ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle X\sim {\mathcal {C}}(0,d)}$.

Per provar aquesta afirmació es considera l'aplicació bijectiva ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} }$ donada per ${\displaystyle x=d\,\tan \theta }$ i s'aplica la fórmula del canvi de variables per a variables aleatòries amb densitat.

Moments de la distribució de Cauchy

La distribució de Cauchy no té esperança

Figura 3. Gràfic de la funció ${\displaystyle xf(x)}$ per una distribució de Cauchy estàndard

Anem a argumentar que la distribució de Cauchy no té esperança . N'hi ha prou amb considerar una distribució de Cauchy estàndard. Per calcular l'esperança hem de calcular la integral impròpia ^[7]${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$, on ${\displaystyle f(x)}$ és la funció de densitat (2). Si bé la funció ${\displaystyle xf(x)}$ va a zero quan ${\displaystyle x\to \pm \infty }$, ho fa molt lentament i l'àrea entre la part positiva de l'eix d'abscisses i la corba és ${\displaystyle \infty }$, vegeu la figura 3; formalment,

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{\pi }}\lim _{c\to \infty }\int _{0}^{c}{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2\pi }}\lim _{c\to \infty }\ln(1+x^{2})=\infty .}$$Anàlogament, l'àrea entre la part negativa de l'eix d'abscisses i la corba és infinita: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}xf(x)\,dx=-\infty .}$$Aleshores, al calcular$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{-\infty }^{0}xf(x)\,dx+\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx,}$$s'obté una indeterminació del tipus ${\displaystyle \infty -\infty }$. Cal notar, que la condició formal per tal que existeixi l'esperança és ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\vert x\vert f(x)\,dx<\infty }$, i que no es compleix ja que, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\vert x\vert }{1+x^{2}}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=\infty .}$$

La distribució de Cauchy no té moments de cap ordre n ≥ 1

Sigui ${\displaystyle X\sim {\mathcal {C}}(0,1)}$. Hem vist a l'apartat anterior que $${\displaystyle E{\big [}\vert X\vert {\big ]}=\infty .}$$d'aquí es dedueix que per a qualsevol ${\displaystyle n\geq 1}$ , ${\displaystyle E{\big [}\vert X\vert ^{n}{\big ]}=\infty }$ . En efecte, per a qualsevol número real ${\displaystyle a\geq 0}$ i qualsevol nombre natural ${\displaystyle n\geq 1}$ tenim que $${\displaystyle a^{n}\leq a^{n+1}+1,}$$ ja que si ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$, llavors ${\displaystyle a^{n}\leq 1}$; i si ${\displaystyle a>1}$, llavors ${\displaystyle a^{n}\leq a^{n+1}}$. Per tant, $${\displaystyle \vert X\vert ^{n}\leq \vert X\vert ^{n+1}+1.}$$Llavors, $${\displaystyle E[\vert X\vert ^{n}]=\infty \quad \Longrightarrow \quad E[\vert X\vert ^{n+1}]=\infty .}$$

Funció generatriu de moments

La distribució de Cauchy no té funció generatriu de moments, ja que no té moments de cap ordre.

La distribució de Cauchy té moments absoluts d'ordre menor que 1

Sigui ${\displaystyle X\sim {\mathcal {C}}(0,1)}$. Aleshores per a ${\displaystyle r\in (-1,1)}$, $${\displaystyle E{\big [}\vert X\vert ^{r}{\big ]}={\frac {1}{\cos(\pi r/2)}}.}$$Aquesta propietat es demostra de la següent manera:$${\displaystyle E{\big [}\vert X\vert ^{r}{\big ]}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\vert x\vert ^{r}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{r}}{1+x^{2}}}\,dx.}$$Ara es fa el canvi ${\displaystyle 1+x^{2}=1/u}$, amb la qual cosa s'obté una integral del tipus funció beta, i l'expressió de la dreta dona ${\displaystyle \pi \,\mathrm {B} ((1-r)/2,(1+r)/2)}$. Finalment s'aplica la següent identitat per a la funció beta (que és una conseqüència de la fórmula de reflexió de la funció gamma) $${\displaystyle \mathrm {B} (z,1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}},\quad z\not \in \mathbb {Z} .}$$

Observació. Per a ${\displaystyle r\in (-1,0)}$, ${\displaystyle E{\big [}\vert X\vert ^{r}{\big ]}}$ s'anomena moment absolut d'ordre negatiu ${\displaystyle r}$.^[8]

Funció característica i aplicacions

Sigui ${\displaystyle X\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$. Llavors la seva funció característica és$${\displaystyle \varphi (t)=E{\big [}e^{itX}{\big ]}=e^{ix_{0}t-\gamma \vert t\vert },\quad t\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (3)}$$Vegeu la pàgina funció característica per al seu càlcul.

Suma de variables de Cauchy independents

De la forma de la funció característica és dedueix que si ${\displaystyle X_{1}\sim {\mathcal {C}}(x_{1},\gamma _{1}),\dots ,X_{n}\sim {\mathcal {C}}(x_{n},\gamma _{n})}$ independents, i ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ , llavors$${\displaystyle a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}\sim {\mathcal {C}}{\big (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}x_{j},\,\sum _{j=1}^{n}\vert a_{j}\vert \gamma _{j}{\big )}.\qquad \qquad (4)}$$

La distribució de Cauchy és estable

Recordem que una variable aleatòria no degenerada ${\displaystyle X}$ és diu que és estable ^[9] (o que la seva distribució és estable) si per a qualsevol número natural ${\displaystyle n\geq 1}$ i ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ independents amb la mateixa distribució que ${\displaystyle X}$, existeixen números ${\displaystyle a_{n}>0}$ i ${\displaystyle b_{n}\in \mathbb {R} }$ tals que $${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ a_{n}X+b_{n},\qquad \qquad (*)}$$ on ${\displaystyle {\overset {\mathcal {D}}{=}}}$ indica la igualtat en distribució o llei. Si la relació anterior es compleix amb ${\displaystyle b_{n}=0}$, llavors diu que la variable aleatòria es estrictament estable.

Recordem també que una variable aleatòria ${\displaystyle X}$ es diu que és infinitament divisible ^[10] si per a qualsevol ${\displaystyle n\geq 1}$, existeixen variables aleatòries ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ independents i idènticament distribuïdes tals que$${\displaystyle X\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ Y_{1}+\cdots +Y_{n}.\qquad \qquad (**)}$$Si una variable aleatòria és estable, llavors és infinitament divisible, ja que si es compleix (*), prenent $${\displaystyle Y_{j}={\frac {X_{j}}{a_{n}}}-{\frac {b_{n}}{na_{n}}},\ j=1,\dots ,n,}$$obtenim (**).

Retornant a la distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$, a partir de la la propietat (4) deduïm que es compleix la igualtat (*) amb ${\displaystyle a_{n}=n}$ i ${\displaystyle b_{n}=0}$, i per tant, és estrictament estable, i, aleshores, també infinitament divisible.

Les funcions característiques de les distribucions estables sempre tenen la forma ^[11]$${\displaystyle \varphi (t)=E[e^{itX}]=\exp {\big \{}itc-b\vert t\vert ^{\alpha }{\big (}1+i\lambda w_{\alpha }(t){\big )}{\big \}},}$$amb ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle b\geq 0}$ , ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$ , que s'anomena l'índex, ${\displaystyle -1\leq \lambda \leq 1}$ i$${\displaystyle w_{\alpha }(t)={\begin{cases}\operatorname {sgn}(t)\,\tan {\frac {\pi \alpha }{2}},&{\text{si }}\alpha \neq 1,\\{\frac {2}{\pi }}\,\operatorname {sgn}(t)\,\log \vert t\vert ,&{\text{si }}\alpha =1,\end{cases}}}$$on $${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)={\begin{cases}~~~1,&{\text{si }}t>0,\\~~~0,&{\text{si }}t=0,\\-1,&{\text{si }}t<0.\end{cases}}}$$Una distribució estable amb aquesta funció característica és designa per ${\displaystyle Stab(c,b,\alpha ,\lambda )}$ . Comparant l'expressió anterior amb la la funció característica d'una distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$ donada a (3) deduïm que és ${\displaystyle Stab(x_{0},\gamma ,1,0)}$ ; en particular, l'índex és ${\displaystyle \alpha =1}$ .

La distribució de Cauchy i la llei dels grans nombres

Siguin ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ independents, totes amb distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$. Posem ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$

De la propietat (4) es dedueix que ${\displaystyle S_{n}/n\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$. Per tant, $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{n}}=X,\quad {\text{en distribució}},}$$on ${\displaystyle X\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$. Però això no contradiu la llei dels grans nombres, ja que (a la llei forta) calia suposar que ${\displaystyle X}$ tenia esperança, la qual cosa amb la distribució de Cauchy no es compleix.

Tornant a l'exemple del raig de llum, tal com comenta Feller,^[12] si repetim ${\displaystyle n}$ vegades l'experiment, el fet que la mitjana ${\displaystyle S_{n}/n}$ tingui també una distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$ vol dir que les mitjanes no es distribuirien més a prop del punt ${\displaystyle O}$ com s'esperaria amb la llei dels grans nombres, sinó que es dispersen com les dades sense promitjar.

La distribució de Cauchy truncada

Fixats dos números ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, amb ${\displaystyle a<b}$ , la distribució de Cauchy truncada a l'interval ${\displaystyle (a,b)}$ (Johnson et al ^[13] l'anomenen distribució de Cauchy doblement truncada), amb paràmetre de posició ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ i paràmetre d'escala ${\displaystyle \gamma >0}$ , té funció de densitat ^[14]$${\displaystyle f_{x_{0}\gamma ,a,b}(x)={\begin{cases}C\,f_{x_{0},\gamma }(x),&{\text{si }}x\in (a,b),\\0,&{\text{en cas contrari}},\end{cases}}}$$on ${\displaystyle C}$ és la constant normalitzadora $${\displaystyle C={\frac {1}{\int _{a}^{b}f_{x_{0},\gamma }(x)\,dx}}={\frac {\pi }{\arctan {\big (}{\frac {a-x_{0}}{\gamma }}{\big )}-\arctan {\big (}{\frac {b-x_{0}}{\gamma }}{\big )}}}.}$$Més explícitament, després de simplificar, tenim la funció de densitat $${\displaystyle f_{x_{0},\gamma ,a,b}(x)={\frac {\gamma }{{\Big (}\arctan {\big (}{\frac {a-x_{0}}{\gamma }}{\big )}-\arctan {\big (}{\frac {b-x_{0}}{\gamma }}{\big )}{\Big )}{\big (}(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}{\big )}}},\quad x\in (a,b).}$$Cal notar que si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {C}}(x_{0},\gamma )}$, llavors ${\displaystyle f_{x_{0},\gamma ,a,b}}$ és la densitat de la variable condicionada ${\displaystyle X\,\vert \,X\in (a,b)}$. Vegeu l'article distribució truncada. Aquesta distribució té l'avantatge que, a l'estar definida en un interval finit, té moments de tots els ordres i funció generatriu de moments. Vegeu ^[14] per a l'estudi de les seves propietats i diverses aplicacions.

Vegeu també

• Distribució de Cauchy multivariant
• Distribució t de Sudent
• Funcions característiques

Referències

1. «Lorentz 1916». [Consulta: 28 febrer 2024].
2. Breit, G.; Wigner, E. «Capture of Slow Neutrons». Physical Review, 49, 7, 01-04-1936, pàg. 519–531. DOI: 10.1103/PhysRev.49.519.
3. Cramer, Harald. Métodos matemáticos de Estadística. Cuarta edición. Aguilar, 1970, p. 283.
4. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. «Chapter 16». A: Continuous univariate distributions. 1. 2. ed., 3. [print.] - 1994. New York: Wiley, 1994. ISBN 978-0-471-58495-7.
5. Severini, Thomas A. Elements of distribution theory. New York, NY: Cambridge University Press, 2005, p. 206-207. ISBN 978-0-521-84472-7.
6. Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 79.
7. Per a les propietats de les integrals impròpies, vegeu Apostol, T. M.. «Cap. 14». A: Análisis matemático. Barcelona: Editorial Reverté, 1960.
8. David, H. A. «Moments of Negative Order and Ratio-Statistics». Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 17, 1, 1955, pàg. 122–123. ISSN: 0035-9246.
9. Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 206.
10. Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 213.
11. Hoffmann-Jørgensen, Jørgen. Probability with a view toward statistics. 1. Boca Raton: CRC Press, 2003, p. 386. ISBN 978-0-412-05221-7.
12. Feller, William. Introducción a la teoria de probabilidades y sus aplicaciones, volumen II. Segona edició. Mèxico: Limusa, 1978, p. 80.
13. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy. Continuous univariate distributions. 1. 2. ed., 3. [print.] - 1994. New York: Wiley, 1994, p. 322. ISBN 978-0-471-58495-7.
14. Nadarajah, Saralees «Making the Cauchy work». Brazilian Journal of Probability and Statistics, 25, 1, 2011, pàg. 99–120. ISSN: 0103-0752.