Quantitat de moviment

La quantitat de moviment o moment lineal (p) d'un cos és el producte de la seva massa per la seva velocitat^[1] mesurades en un determinat sistema de referència. Les seves unitats són kg·m·s^-1 o, equivelentment, N·s.

Quantitat de moviment

En una partida de billar, la quantitat moviment es conserva.
Símbol	p
Unitats	kg m/s
Fórmula	${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}$

Es pot apreciar que un vaixell de gran tonatge pot tenir una gran quantitat de moviment encara que es mou a una velocitat petita, i pot ser igualat per una bala petita que surti a una gran velocitat. També, un objecte molt gran que es mou a una gran velocitat tindrà una enorme quantitat de moviment, com per exemple un camió baixant sense frens un pendent, però el mateix camió en repòs no tindrà cap quantitat de moviment.

La definició matemàtica del moment lineal per un cos és:^[1]

${\displaystyle \mathbf {\vec {p}} =m\mathbf {\vec {v}} }$

on p i v són vectorials i:

p = moment lineal

m = massa

v = velocitat lineal

Per un sistema de N partícules de massa ${\displaystyle m_{i}}$i velocitat ${\displaystyle \mathbf {v_{i}} }$el total de la quantitat de moviment s'expressa com:

${\displaystyle \mathbf {\vec {p}} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\mathbf {\vec {v}} }_{i}}$

i per a un sistema continu de masses es:

${\displaystyle \mathbf {p} =\iiint \limits _{V}{m(v)\mathbf {v} (v)dv}}$

Si es deriva p respecte al temps i suposant que la massa és constant, es troba el producte de la massa per l'acceleració que, segons la segona Llei de Newton, és igual a la força:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a} =\mathbf {F} }$

on:

F = força

m = massa

a = acceleració lineal

D'on es veu fàcilment que la força és igual a la variació del moment lineal respecte del temps.

La mateixa relació en forma integral és:

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\mathbf {F(t)} dt=\mathbf {p(t_{f})-p(t_{0})} }$

On es pot veure que una força sostinguda durant un llarg període produeix més canvi de quantitat de moviment que la mateixa força quan s'aplica un curt període. Així, per canviar la quantitat de moviment d'un objecte, importa tant la magnitud de la força com el temps d'actuació.

Podrem definir l'impuls com el producte de la força per l'increment de temps.

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {F} \Delta t}$

on F és la força aplicada i ∆t l'increment de temps.

L'impuls canvia la quantitat de moviment de la mateixa manera que la força canvia la velocitat. Per la qual cosa, finalment, es defineix l'impuls rebut per un cos o partícula com la variació de la quantitat de moviment:

${\displaystyle \Delta {\vec {p}}={\vec {p}}_{f}-{\vec {p}}_{0}}$

on p_f és la quantitat de moviment final i p₀ la inicial.

Referències

1. Walker, Halliday i Resnick, 2014, p. 192.

Bibliografia

• Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Roberet. Principles of Physics (en anglès). Desena edició. Wiley, 2014. ISBN 9781118230749.