En teoria de conjunts, un cardinal inaccessible és un tipus de nombre cardinal gran. Es caracteritza per ser regular, és a dir, per tenir una cofinalitat igual a si mateix.
Definició
Els cardinals inaccessibles són bàsicament cardinals límit regulars, excloent l'únic cas concret conegut, que és ℵ0.
|
No obstant existix una noció d'inaccessibilitat forta, per als cardinals que són límits forts. Un cardinal límit fort és un cardinal límit κ tal que per a tot cardinal menor, μ < κ <, es té també 2μ < κ. El cardinal ℵ0 en particular és un límit fort.
|
El terme «cardinal inaccessible» pot fer referència a qualsevol de les dues nocions, depenent del context.
Models i consistència
En la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel ZFC pot demostrar-se que:
- El conjunt de Von Neumann Vκ constitueix un model de ZFC si κ és fortament inaccessible.
- Els conjunts constructibles de rang menor que κ, Lκ, formen un model de ZFC si κ és feblement inaccessible.
Per tant, en ZFC no pot demostrar-se l'existència d'un cardinal inaccessible (fort o feble), ja que d'ella es deduiria l'existència d'un model de la pròpia ZFC, la qual cosa està prohibit pel segon teorema de incompletesa de Gödel (sempre que ZFC siga consistent).
Referències
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
