Característica d'Euler

En matemàtiques, i més específicament en topologia algebraica i combinatòria polièdrica, la característica d'Euler (o característica d'Euler-Poincaré) és una invariant topològica, un nombre que descriu la forma o estructura en l'espai topològic independentment de la manera en què un políedre es col·loqui o es plegui. Normalment es denota amb la lletra grega khi: ${\displaystyle \chi }$.^[1]

Per altres significats, vegeu llista de temes anomenats en honor de Leonhard Euler.

La característica d'Euler es va definir originàriament per a políedres i es va utilitzar per demostrar-ne diversos teoremes, incloent la classificació dels sòlids platònics. Leonhard Euler, que va ser qui va donar nom al concepte, va ser el responsable de gran part d'aquesta feina primerenca. En matemàtica moderna, la característica d'Euler sorgeix a partir de l'homologia i connecta amb moltes altres invariants.

En políedres

La característica d'Euler ${\displaystyle \chi }$ era definida classicament per les superfícies del políedre, d'acord amb la fórmula

${\displaystyle \chi =V-A+C\,\!}$

on V, A, i C són respectivament el nombre de vèrtexs, arestes i cares en el políedre donat. Qualsevol políedre convex té característica d'Euler

${\displaystyle \chi =V-A+C=2.\,\!}$^[2]

Aquest resultat es coneix com a fórmula o relació d'Euler.

Nom	Imatge	Vèrtexs V	Arestes A	Cares C	Característica d'Euler: V − A + C
Tetraedre		4	6	4	2
Hexaedre o cub		8	12	6	2
Octaedre		6	12	8	2
Dodecaedre		20	30	12	2
Icosaedre		12	30	20	2

Les superfícies de políedres no convexos poden tenir característiques d'Euler diferents:

Nom	Imatge	Vèrtexs V	Arestes A	Cares C	Característica d'Euler: V − A + C
Tetrahemihexaedre		6	12	7	1
Octahemioctaedre		12	24	12	0
Cubohemioctaedre		12	24	10	−2
Gran icosaedre		12	30	20	2

Referències

1. Vicenç Navarro i Pere Pascual. UB. Topologia algebraica, 1999.
2. Armengol Gasull. «La característica d'Euler. La fórmula de Pick.». UAB.