Teorema d'Abel-Ruffini
From Wikipedia, the free encyclopedia
El teorema d'Abel-Ruffini afirma que en el cas de les equacions polinòmiques de grau superior o igual al cinquè, és a dir les equacions de la forma:
On , és impossible de trobar una fórmula general que permeti calcular les arrels de l'equació a partir dels seus coeficients amb un nombre finit de sumes, restes, multiplicacions, divisions i arrels.
El teorema no afirma pas que aquestes equacions no tinguin solució. De fet, tal com estableix el teorema fonamental de l'àlgebra tota equació polinòmica de grau n té pel cap baix una solució al conjunt dels nombres complexos.
El teorema tampoc afirma que les solucions no es puguin trobar. Hi ha mètodes que permeten trobar-les amb infinites operacions com per exemple el mètode de Newton. També hi ha mètodes que permeten trobar les solucions afegint altres operacions. Per exemple amb els radicals de Bring es poden resoldre les equacions de cinquè grau.
Tampoc diu que aquesta impossibilitat es doni en tots els casos. Hi ha casos particulars d'equacions de grau igual i superior a 5 que es poden resoldre amb un nombre finit sumes, restes, multiplicacions, divisions i arrels. Per exemple l'equació:
Admet com a solucions les arrels:
La teoria de Galois ofereix els mitjans per determinar en quins casos una equació de grau cinquè o superior admet una solució d'aquesta mena.