Sèrie de potències enteres
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques i particularment en anàlisi matemàtica, una sèrie de potències enteres anomenada també sèrie de potències o sèrie entera és una sèrie matemàtica de funcions de la forma
On els coeficients an formen una successió real o complexa. La sèrie s'anomena de potències enteres a causa del fet que els exponents n són nombres enters.
Les sèries de potències enteres posseeixen propietats de convergència destacables, que s'expressen en gran part amb l'ajuda d'una mida associada a la sèrie, el seu radi de convergència R. Sobre el disc de convergència (disc obert de centre 0 i de radi R), la funció suma de la sèrie pot ser derivada indefinidament terme a terme.
Recíprocament, certes funcions indefinidament derivables poden ser escrites a l'entorn d'un dels seus punts c com la suma d'una sèrie de potències de la variable z-c: en aquest cas aquesta és la seva sèrie de Taylor. Es parla en aquest cas de funcions desenvolupables en sèrie de potències enteres o simplement desenvolupades en sèrie entorn del punt c. Quan una funció és desenvolupable en sèrie en cadascun dels seus punts, s'anomena analítica.
Les sèries de potències enteres apareixen en anàlisi matemàtica, però també en Combinatòria en tant que funció generatriu i es generalitzen en la noció de sèrie formal. En la teoria de nombres, el concepte de nombre p-àdic és proper al de sèrie de potències enteres. Les sèries de potències enteres també es generalitzen al cas de funcions de diverses variables.