La suma de matrius és una operació que es defineix per a dues matrius del mateix tipus, és a dir que totes dues tenen el mateix nombre de files i també el mateix nombre de columnes.
La suma de dues matrius de tipus (m, n),
i
, que s'escriu A + B, és una nova matriu
de tipus (m, n) que s'obté sumant els elements corresponents de cada matriu, és a dir:
- Per a tot i, j,
![{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}~}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2bb75948c92bd078c578c2328aa2864d016daa5)
Per exemple:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46466a09af421a4342b18eaec56587499088be89)
El conjunt de les matrius de tipus (m, n) amb l'operació de la suma formen un grup abelià. La comprovació és evident a causa del fet que els elements són membres d'un grup abelià i la suma de matrius es defineix construint la matriu suma a partir de la suma dels elements.
Aquesta forma de definir la suma de matrius prové de les aplicacions lineals; si A i B són matrius d'aplicacions lineals respecte a una base donada, llavors la matriu de l'aplicació suma expressada en la mateixa base, és la suma de matrius A+B.
Per exemple:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\begin{matrix}1&2\\3&1\\\end{matrix}}\right)\cdot \left\{{\begin{matrix}e_{1}\\e_{2}\\\end{matrix}}\right\}+\left({\begin{matrix}2&0\\0&2\\\end{matrix}}\right)\cdot \left\{{\begin{matrix}e_{1}\\e_{2}\\\end{matrix}}\right\}&=\left\{{\begin{matrix}1\cdot e_{1}+2\cdot e_{2}\\3\cdot e_{1}+1\cdot e_{2}\\\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}2\cdot e_{1}+0\cdot e_{2}\\0\cdot e_{1}+2\cdot e_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&=\left\{{\begin{matrix}\left(1+2\right)\cdot e_{1}+\left(2+0\right)\cdot e_{2}\\\left(3+0\right)\cdot e_{1}+\left(1+2\right)\cdot e_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&=\left({\begin{matrix}1+2&2+0\\3+0&1+2\\\end{matrix}}\right)\cdot \left\{{\begin{matrix}e_{1}\\e_{2}\\\end{matrix}}\right\}\\&=\left(\left({\begin{matrix}1&2\\3&1\\\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}2&0\\0&2\\\end{matrix}}\right)\right)\cdot \left\{{\begin{matrix}e_{1}\\e_{2}\\\end{matrix}}\right\}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66936ed59ee6ef1327dcddb1f08e9c2514cecc2)