A partir de la definició de derivada
- Suposant que
- on ≠ 0 i i són derivables.
A partir de la regla de la cadena
Es considera la identitat
Llavors
Porta a
Operant s'obté
Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat
Emprant diferencials totals
Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,
De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin, ja que no poden expressar-se com a funcions d'altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions d'una variable independent x, i
, llavors han de ser veritat simultàniament que
- (*)
I que
- .
Però sabent que i .
Substituint i fent aquests dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació
La qual requereix que
- (#) .
Calculant les parcials de la dreta:
- ;
- .
Si se substitueixen dins de (#),
La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),
- .
Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.