Problema d'Apol·loni
From Wikipedia, the free encyclopedia
En geometria plana euclidiana, el problema d'Apol·loni consisteix a construir circumferències que siguin tangents a tres circumferències donades. Apol·loni de Perge (ca. 262 BC – ca. 190 BC) proposà i resolgué aquest problema famós a l'obra Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangències"); l'obra s'ha perdut, però s'ha conservat una referència dels resultats feta el segle IV per Pappos d'Alexandria. Excloent les famílies de posicions particulars que tenen infinites solucions, les que no en tenen cap, i les famílies de posicions que, per simetria, tenen algunes solucions equivalents o impossibles, la resolució general del problema proveeix vuit circumferències diferents que són tangents a les circumferències donades. Hi ha dues solucions per cada manera de separar les circumferències donades en dos subconjunts, que fan un total de vuit solucions (hi ha quatre maneres de separar un conjunt de tres elements en dos subconjunts).
Al segle xvi, Adriaan van Roomen resolgué el problema utilitzant hipèrboles secants, però aquesta solució no es basa únicament en construccions amb regle i compàs. François Viète trobà una solució aprofitant la simplificació dels casos extrems: qualsevol de les tres circumferències donades es pot reduir fins a tenir un radi nul (un punt) o ampliar fins que tingui un radi infinit (una recta). L'enfocament de Viète, que utilitza casos extrems senzills per resoldre'n d'altres més complicats, es considera una reconstrucció plausible del mètode d'Apol·loni. El mètode de van Roomen fou simplificat per Isaac Newton, que mostrà que el problema d'Apol·loni és equivalent a trobar una posició coneixent les diferències de distàncies a tres punts coneguts. Això té aplicacions en navegació i en sistemes de posicionament com el LORAN.
Matemàtics posteriors introduïren mètodes algebraics, que transformen el problema geomètric en una equació algebraica. Aquests mètodes es van simplificar aprofitant les simetries inherents al problema d'Apol·loni: per exemple, les circumferències resolutòries solen trobar-se en parelles, amb una que conté les circumferències donades que l'altra no conté. Joseph Diez Gergonne aprofità aquesta simetria per trobar un elegant mètode per trobar les solucions amb regle i compàs, mentre que altres matemàtics utilitzaren transformacions geomètriques com la reflexió en una circumferència per simplificar la disposició de les circumferències donades. Aquests desenvolupaments ofereixen una representació geomètrica a través de mètodes algebraics (utilitzant la geometria de l'esfera de Lie) i una classificació de solucions per les 33 disposicions essencialment diferents possibles en la posició inicial de les tres circumferències.
El problema d'Apol·loni ha impulsat molta recerca addicional. S'han estudiat generalitzacions en tres dimensions —la construcció d'una esfera tangent a quatre esferes donades— i en dimensions superiors. La disposició de tres circumferències tangents entre elles ha rebut una atenció especial. René Descartes donà una fórmula que relaciona els radis de les circumferències donades i els de les circumferències resolutòries, que es coneix actualment com a teorema de Descartes. En aquest cas, la resolució iterant del problema d'Apol·loni duu a la formació d'un dels primers fractals descoberts i dibuixats. Aquest fractal té importància en teoria de nombres, concretament en les circumferències de Ford i en el mètode del cercle de Hardy-Littlewood.