Mòdul lliure
From Wikipedia, the free encyclopedia
Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.
Posem això en una notació adequada: si i
són espais vectorials i
és una base de
, una aplicació
informa quant a quina és la imatge de cada element de la base
de
i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme
de manera que si
és la injecció natural, el següent diagrama
![]() |
és commutatiu. La definició del -mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.