From Wikipedia, the free encyclopedia
El mètode d'exhaustió és un mètode per a trobar l'àrea d'una superfície plana limitada per una corba a base d'inscriure-li una successió de polígons les àrees dels quals convergeixen cap a l'àrea de la superfície que els conté. Si la successió es construeix correctament, la diferència en àrea entre el polígon n-èsim i la superfície que el conté esdevindrà arbitràriament petita a mesura que n esdevé gran. Com que aquesta diferència esdevé arbitràriament petita, els valors possibles per a l'àrea de la superfície són sistemàticament "exhaurits" per les fites inferiors que queden establertes pels membres de la successió. La idea original va ser d'Antifont, tot i que no està del tot clar fins a quin punt la va entendre.[1] Èudox de Cnidos és qui va plantejar la teoria de forma rigorosa. El primer que va utilitzar l'expressió "mètode d'exhaustió" va ser Grégoire de Saint-Vincent a Opus geometricum guadraturae circuli et sectionum coni el 1647.
El mètode d'exhaustió s'ha vist com un precursor dels mètodes del càlcul infinitesimal. El desenvolupament de la geometria analítica i del càlcul integral entre els segles XVII i XIX (en particular la definició rigorosa del límit) han susumit el mètode d'exhaustió de forma que actualment no es fa servir de forma explícita per a la resolució de problemes.
Arquímedes va emprar el mètode d'exhaustió com una forma de calcular π a base d'omplir el cercle amb polígons amb un nombre més i més gran de costats. El quocient de l'àrea d'aquests polígons dividida entre el quadrat del radi del cercle esdevé arbitràriament proper al valor real de π a mesura que el nombre de cares del polígon es fa gran.
Altres resultats obtinguts amb el mètode d'exhaustió inclouen[2]
Una nova forma del mètode d'exhaustió[3] subministra una fórmula per avaluar una integral definida de qualsevol funció contínua:
Pot ser útil emprar aquesta fórmula quan no existeixen primitives elementals. També pot ser útil en l'ensenyament del càlcul integral.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.