Hipòtesi del continu
From Wikipedia, the free encyclopedia
En teoria de conjunts, la hipòtesi del continu (abreviada HC) és una hipòtesi, proposada per Georg Cantor, sobre la cardinalitat del conjunt dels nombres reals (denominat continu per la recta real). Cantor introduí el concepte de nombre cardinal per comparar la mida de conjunts infinits, demostrant el 1874 que el cardinal del conjunt dels enters és estrictament inferior al dels nombres reals. El següent a preguntar-se és si existeixen conjunts tals que la seva cardinalitat estigui estrictament inclosa entre els dos conjunts. La hipòtesi del continu diu:
- No existeixen conjunts la mida dels quals estigui compresa estrictament entre el dels enters i el dels nombres reals.
Matemàticament parlant, si el cardinal dels enters és (àlef zero) i el cardinal dels nombres reals és , la hipòtesi del continu afirma que:
on |A| indica el cardinal d'A.
Acceptant l'axioma d'elecció, existeix un nombre cardinal , l'immediat superior a , sent la hipòtesi del continu equivalent a la igualtat