Funció de probabilitat

En teoria de la probabilitat, la funció de probabilitat (també anomenada funció de massa de probabilitat o funció de repartiment de massa) d'una variable aleatòria discreta és la funció que associa a cada valor possible de la variable la probabilitat que aquesta ho assumeixi.

Per a altres significats, vegeu «mesura de probabilitat».

Definició

Article principal: Variable aleatòria

Considerem un espai de probabilitat ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ Sigui ${\displaystyle X}$ una variable aleatòria discreta que prengui els valors ${\displaystyle D=\{x_{i},\,i\in I\}}$, on ${\displaystyle I\subset {\mathbb {N} }}$. La funció de probabilitat^[1] de ${\displaystyle X}$ és la funció ${\textstyle p:D\longrightarrow [0,1]}$definida per $${\displaystyle p(x_{i})=P(X=x_{i}).}$$ Tenim que

${\displaystyle \sum _{i\in I}p(x_{i})=1.}$

Aquesta funció determina totes les probabilitats relacionades amb ${\displaystyle X}$: $${\displaystyle P(X\in B)=\sum _{i:\,x_{i}\in B}p(x_{i}).}$$

Observació. Alguns autors ^[2] defineixen la funció de probabilitat sobre tot el conjunt dels nombres real ${\textstyle p:\mathbb {R} \longrightarrow [0,1]}$ per $${\displaystyle p(x)=P(X=x).}$$És clar que ${\displaystyle p(x)=0}$ a menys que ${\displaystyle x\in I}$. Això no genera cap problema ni confusió.

Cal advertir que el concepte de funció de probabilitat només té sentit per a variables aleatòries discretes, és a dir, que prenen un nombre finit o numerable de valors. Per a variables aleatòries contínues el concepte anàleg és el de funció de densitat.

Vegeu també

• Funció de distribució
• Funció de densitat

Referències

1. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 50. ISBN 84-8338-091-9.
2. DeGroot, Morris H. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 94. ISBN 0-201-64405-3.