Funció injectiva

En matemàtiques es diu que una funció és injectiva quan cada imatge de la funció (cada element del conjunt recorregut) es correspon a una antiimatge diferent del conjunt de sortida (el domini).^[1] És a dir, quan no existeix cap imatge que tingui associada més d'una antiimatge del domini. De forma gràfica, en el cas de funcions reals d'una sola variable, s'acostuma a dir que una funció és injectiva quan la seva gràfica no es talla en més d'un punt per qualsevol recta paral·lela a l'eix X.^[2][3]

Exemple de funció injectiva.

Exemple de funció no injectiva, l'element C de la imatge té dues antiimatges (3 i 4).

Aquelles funcions injectives que també són suprajectives s'anomenen bijeccions.^[4][5]

Definició formal

Sigui f : X → Y una aplicació, es diu que f és injectiva si i només si per a qualsevol ${\displaystyle a,b\in X}$, si ${\displaystyle a\neq b}$ aleshores ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$ o, cosa que és el mateix, si el fet que ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ implica que necessàriament ${\displaystyle a=b}$.

Funcions invertibles

També es poden definir les funcions injectives com aquelles funcions per a les quals es poden desfer els canvis que provoquen. Així doncs, si f : X → Y és una aplicació injectiva aleshores existeix una altra funció g : Y → X tal que ${\displaystyle g(f(x))=x}$ per a tot valor x del conjunt X, és a dir que la funció composició g∘f és igual a la funció identitat del conjunt X.

Tingueu en compte que aquesta funció g pot no ser la funció inversa completa de f, perquè la composició en el sentit contrari f∘g pot no ser la identitat de Y.

En realitat però, convertir una funció f : X → Y injectiva en una de bijectiva i per tant invertible és tan senzill com substituir el seu conjunt d'arribada Y pel seu vertader recorregut I=f(X). És a dir, sigui f_b: X → I tal que per a tot x del domini X es compleixi que f_b(x)=f(x), tindrem que la funció f_b és bijectiva.

Referències

1. «Función inyectiva | Qué es, definición, propiedades, ejemplos, aplicaciones» (en espanyol europeu), 13-07-2018. [Consulta: 17 gener 2022].
2. «Función inyectiva. Ejemplos. Función sobreyectiva o suprayectiva. Ejemplos. Función biyectiva. Ejemplos.». [Consulta: 17 gener 2022].
3. «Injective, Surjective and Bijective». [Consulta: 17 gener 2022].
4. Injection. MathWorld. (anglès)
5. «Injective Function - Definition, Formula, Examples» (en anglès). [Consulta: 17 gener 2022].

Vegeu també

• Funció bijectiva (les funcions bijectives són també injectives)
• Funció monòtona (les funcions estrictament monòtones són sempre injectives)
• Funció suprajectiva
• Isomorfisme (els isomorfismes són sempre funcions injectives)
• Monomorfisme