From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, es diu que una funció f entre dos conjunts és exhaustiva (també dita epijectiva, suprajectiva o surjectiva) quan tot element del conjunt d'arribada és imatge d'almenys un element del domini.[1] És a dir, els valors de la funció abasten completament el codomini; això és: per a cada element y del codomini, hi ha almenys un x del domini tal que .[2][3]
Dit d'una altra manera, una funció f: X → Y és exhaustiva si i només si el seu recorregut f(X) és igual al seu codomini Y.
Les funcions exhaustives que també són injectives s'anomenen funcions bijectives.[4][5]
En general, sigui f: X → Y una funció no necessàriament exhaustiva sempre podem definir la funció g: X → f(X) amb g(x)=f(x) per a tot x de X que sí que serà exhaustiva, ja que haurem definit com a conjunt d'arribada de g el seu recorregut.
Aquest procés s'utilitza per a invertir les funcions injectives que no són exhaustives, convertint-les així en bijeccions. El procés és: sigui f: X → Y una funció injectiva existirà sempre una funció f-1: f(X) → X tal que f-1(f(x))=x per a tot element x de X.
Cada funció amb inversa per la dreta és una funció exhaustiva. El recíproc és equivalent a l'axioma d'elecció. És a dir, acceptant l'elecció, una funció f: X → Y és exhaustiva si i només si hi ha una funció g: Y → X tal que, per cada
És a dir, una funció g tal que f∘g és igual a la funció identitat de Y (d'acord amb la definició de funció inversa).
Fixeu-vos que pot ser que g no sigui una inversa completa de f perquè la composició en l'altre ordre, g∘f, pot no ser la identitat de X. En altres paraules, f pot desfer o "revertir" g, però no necessàriament pot ser revertida per aquesta. Les funcions exhaustives no sempre són invertibles (bijectives).
Per exemple, a la il·lustració, hi ha alguna funció g tal que . També hi ha alguna funció f tal que . No importa que g(C) també pugui ser igual a 3; només importa que f "reverteix" g.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.