Descomposició en fraccions parcials
From Wikipedia, the free encyclopedia
En àlgebra, la descomposició en fraccions parcials és un mètode que s'utilitza per reduir el grau del numerador o del denominador (només un dels dos) d'una funció racional. Simbòlicament, es pot fer servir la descomposició en fraccions parcials per canviar una funció racional de la forma
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
on ƒ i g són polinomis, en una funció de la forma
on gj (x) són polinomis que són factors de g(x) i, en general, són de grau inferior.
La descomposició en fraccions parcials es pot considerar, doncs, com el procediment invers de l'operació més elemental d'addició de fraccions, la qual dona com a resultat una única funció racional amb un numerador i denominador normalment de grau més elevat. La descomposició completa en fraccions parcials va fins al final, és a dir, es factoritza g tant com sigui possible. El resultat obtingut en aquest cas expressa la funció original com una suma de fraccions on:
- el denominador de cada terme és la potència d'un polinomi irreductible no factoritzable, i
- el numerador de cada terme és un polinomi de grau inferior que el polinomi irreductible.
La motivació principal per descompondre una funció racional en una suma de fraccions més simples és que llavors és més fàcil dur a terme operacions lineals. És per això, doncs, que el problema de calcular derivades, antiderivades, integrals, sèries de potències, sèries de Fourier, residus i transformacions lineals es pot reduir gràcies a la descomposició en fraccions parcials, de tal manera que es faci el càlcul sobre cada element en comptes de fer-ho sobre l'element original. Vegeu, per exemple, Integració de fraccions racionals.
La decisió de quins polinomis són irreductibles depèn de quin cos d'escalars s'adopti. Si es treballa amb nombres reals, llavors els polinomis irreductibles són de grau 1 o 2. Si es permeten nombres complexos, només els polinomis de primer grau són irreductibles. Finalment, si es permeten només nombres racionals, o un cos finit, llavors els graus dels polinomis irreductibles poden ser més elevats.