Equació
igualtat entre dues expressions algebraiques / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques una equació és una igualtat entre dues expressions algebraiques que només és certa per alguns valors de les lletres. Resoldre l'equació consisteix a determinar els valors que pot prendre la variable (o les variables) per tal de fer verdadera la igualtat. La variable també s'anomena desconeguda o incògnita i els valors per als quals la igualtat es verifica s'anomenen solucions. A diferència d'una identitat, una equació és una igualtat que no és necessàriament verdadera per a tots els valors possibles de la variable.[2][Nota 1][3] Les equacions poden ser de naturalesa diversa i apareixen en diferents branques de les matemàtiques. Les tècniques associades al seu tractament difereixen segons el tipus d'equacions.
Aquest article tracta sobre les equacions matemàtiques en la seva generalitat. Si cerqueu una introducció al concepte i mètodes de resolució, vegeu «Equació (àlgebra elemental)». |
L'àlgebra estudia sobretot dues famílies d'equacions: les equacions polinòmiques i les equacions lineals. Les equacions polinòmiques són de la forma P(X) = 0, en què P és un polinomi. Els mètodes de transformacions i de canvi de variable permeten resoldre les més simples. Les equacions lineals són de la forma a(x) + b = 0, en què a és una aplicació lineal i b un vector. Per a resoldre-les, es fan servir tècniques algorísmiques o geomètriques, sorgides de l'àlgebra lineal o de l'anàlisi matemàtica. Si es modifica el conjunt en què està definida la variable pot canviar considerablement la naturalesa de l'equació. L'àlgebra estudia també les equacions diofàntiques, unes equacions en les quals els coeficients i les solucions són enters. Les tècniques utilitzades són diferents i essencialment procedents de l'aritmètica modular. Aquestes equacions són, en general, difícils; sovint, tan sols s'intenta determinar l'existència o l'absència de solucions i, si n'existeixen, el seu nombre.
La geometria fa servir les equacions per a caracteritzar les figures. En relació als casos anteriors, l'objectiu és diferent; l'equació es fa servir per a posar en evidència propietats geomètriques. En aquest context, hi ha dues grans famílies d'equacions: les cartesianes i les paramètriques.
L'anàlisi estudia equacions del tipus f(x) = 0, en què f és una funció que té certes propietats com la continuïtat, la derivabilitat o, fins i tot, el fet de ser contractant. Hi ha tècniques que permeten construir successions que convergeixen cap a una solució de l'equació. L'objectiu és poder aproximar la solució amb tanta precisió com sigui possible.
Un sistema dinàmic és el que evoluciona al llarg del temps. Es defineix per una equació en què les solucions són, o bé successions –que indiquen els valors de l'estat del sistema en cada un dels instants discrets del temps–, o bé funcions d'una variable (per exemple, el temps), o bé de diverses variables (el temps i d'altres com, per exemple, les coordenades cartesianes dels punts de l'espai). Existeixen dues qüestions centrals: l'"estat inicial" i el "comportament asimptòtic". Per a cada estat inicial admissible –per exemple, el valor de la successió o de la funció en zero–, l'equació admet una única solució. De vegades, una petita modificació de l'estat inicial en modifica poc la solució. No és sempre aquest el cas; aquesta sensibilitat a la condició inicial és l'objecte de la primera qüestió. El comportament límit o també asimptòtic d'una solució correspon a la forma de la solució quan la variable (el temps) tendeix cap a l'infinit; aquest comportament és l'objecte de la segona qüestió. Si no divergeix, pot tendir cap a un valor donat, o bé apropar-se a un comportament cíclic –una funció periòdica o una successió que recorre sempre un mateix conjunt finit de valors i en el mateix ordre–, o bé tenir un comportament caòtic. En aquest últim cas, sembla que evolucioni per atzar, fins i tot si la solució és, per definició, determinista.[Nota 2]