Cinta de Möbius
superfície d'una sola cara i un sol contorn. / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, una cinta de Möbius o banda de Möbius (o de Moebius) és una superfície d'una sola cara i un sol contorn. És una superfície no orientable. Fou descoberta de manera independent pels matemàtics alemanys August Ferdinand Möbius i Johann Benedict Listing l'any 1858.[1][2]
Es pot crear un model d'una banda de Möbius prenent una tira de paper, agafant un extrem, donant-li mitja volta, i llavors enganxant els extrems de la tira per formar un bucle. Tot i això, la banda de Möbius no és una superfície amb només una forma i mida exactes, com la tira de paper mostrada en la figura. En comptes d'això, els matemàtics acostumen a referir-se a la banda de Möbius tancada com a qualsevol superfície que sigui homeomorfa a aquesta banda. La seva frontera és una corba tancada simple, és a dir, homeomorfa a una circumferència. Això permet que hi hagi diverses versions geomètriques de la banda de Möbius, cadascuna amb una superfície i mida definides. Per exemple, qualsevol rectangle es pot enganxar amb si mateix (identificant un costat amb el costat oposat, després de canviar-ne l'orientació) per tal de formar una banda de Möbius. Alguns d'aquests models es poden construir de manera senzilla dins l'espai euclidià, i d'altres no.
Un semigir en sentit horari proporciona una versió diferent de la banda de Möbius que un semigir en sentit antihorari. És a dir, com a objecte immers en l'espai euclidià, la banda de Möbius és un objecte quiral. Tot i això, els espais topològics subjacents en la banda de Möbius són homeomorfs en cada cas. Existeix un nombre infinit d'immersions topològicament diferents del mateix espai topològic dins de l'espai tridimensional, ja que la banda de Möbius també es pot formar girant la cinta un nombre senar qualsevol de vegades, o nuant i girant la cinta abans de connectar els seus extrems. La banda de Möbius oberta completa és un exemple de superfície topològica que està íntimament relacionada amb la banda de Möbius estàndard, però no hi és homeomorfa.
És senzill trobar equacions algebraiques les solucions de les quals tinguin la topologia d'una banda de Möbius, però en general aquestes equacions no descriuen la mateixa forma geomètrica que s'obté a partir del model en paper anterior. En particular, el model en paper és una superfície desenvolupable, amb curvatura de Gauss igual a 0. L'any 2007 es va publicar un sistema d'equacions diferencials algebraiques que descriuen els models d'aquest tipus, juntament amb la seva solució numèrica.[3]
La característica d'Euler de la banda de Möbius és zero.