Camp vectorial irrotacional

En el càlcul vectorial un camp vectorial irrotacional o camp vectorial conservatiu és un camp vectorial el rotacional del qual és nul.

Si la notació del camp és ${\displaystyle \mathbf {v} }$, llavors:^[1]

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} =0}$.

Hi ha una identitat de càlcul vectorial que estableix que el rotacional de qualsevol gradient és zero:

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\nabla \phi =\nabla \times \nabla \phi =0}$

on ${\displaystyle \phi }$ és un camp escalar.

En canvi, en un espai simplement connex,^[2] qualsevol camp irrotacional pot ser expressat com el gradient d'un potencial escalar:

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \phi }$.

Si, a més de ser irrotacional, un camp vectorial també és incompressible, llavors rep el nom de camp vectorial Laplacià.

En mecànica dels fluids, un camp irrotacional és pràcticament sinònim de camp laminar. L'adjectiu "irrotacional" implica que el flux irrotacional del fluid (el seu camp velocitat és irrotacional) no té cap component rotacional: no forma vòrtexs.

De la definició d'un irrotacional com rotacional nul, seguint el teorema de Stokes es pot deduir que la circulació de qualsevol bucle tancat en el camp és zero:

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {s} =\int \!\!\!\int _{A}\nabla \times \mathbf {v} \cdot d\mathbf {A} =0}$

on A és l'àrea tancada pel bucle S. Aquesta manca de circulació significa que les línies d'un camp irrotacional (línies de flux d'un flux irrotacional) no formen bucles (o hèlixs).

Notes i referències

1. White, Frank M. «Differential Relations for Fluid Flow». A: Elizabeth A. Jones. Fluid Mechanics [Mecànica de Fluids] (en anglès). 5a. Nova York: McGraw-Hill, 2003, p. 250 (McGraw Hill Series in Mechanical Engineering). ISBN 0-07-240217-2 [Consulta: 19 gener 2020].
2. Per a un camp vectorial és possible tenir un rotacional igual a zero en un espai que no sigui simplement connex, sense que sigui el gradient d'una funció. Per exemple, el camp vectorial

   ${\displaystyle \mathbf {v} =\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)}$

   té rotacional zero a tot arreu excepte al llarg de l'eix z (on és indefinit), però cada integral de línia de v al voltant de l'eix z dona un resultat diferent de zero, per tant v no té un potencial escalar. De vegades el terme irrotacional exclou de manera explícita aquest fenomen, per exemple, un camp vectorial com l'esmentat v és anomenat rotacional malgrat presenti un rotacional igual a zero.