conceptes bàsica de l'àlgebra dels nombres reals i complexos From Wikipedia, the free encyclopedia
L'àlgebra elemental inclou alguns dels conceptes bàsics de l'àlgebra, una de les principals branques de les matemàtiques. Normalment s'ensenya àlgebra elemental a secundària i els seus principis es fonamenten en l'aritmètica. Així com l'aritmètica tracta amb nombres específics,[1] l'àlgebra introdueix quantitats sense valor fixe, conegudes com variables.[2] Aquest ús de variables implica l'ús de notació algebraica i una comprensió de les regles generals de les operacions matemàtiques introduïdes en l'aritmètica. A diferència de l'àlgebra abstracta, l'àlgebra elemental no tracta amb estructures algebraiques més enllà del regne dels reals i dels imaginaris.
L'ús de variables per denotar quantitats no determinades permet establir relacions generals entre quantitats expressades de formalment i concisa, i per tant permet resoldre un camp més ampli de problemes. Moltes relacions quantitatives en la ciència i les matemàtiques estan expressades en forma d'equació algebraica.
La notació algebraica descriu les regles i les convencions per escriure expressions matemàtiques, així com la terminologia que s'utilitza per parlar de parts d'expressions. Per exemple, l'expressió té els següents components:
Un coeficient és un valor numèric, o una lletra que representa una constant numèrica, que multiplica una variable (l'operador és omès). Un terme és un sumand, un grup de coeficients, variables, constants i exponents que es pot separar dels altres termes pels operadors més o menys.[3] Les lletres representen variables i constants. Per conveni, les primeres lletres de l'alfabet (és a dir ) són usades sovint per representar constants, i les últimes lletres (és a dir i z) s'usen per representar variables.[4] Normalment s'escriuen en cursiva.[5]
Les operacions algebraiques funcionen de la mateixa manera que les operacions aritmètiques,[6] com la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i la potenciació,[7] i s'apliquen a les variables algebraiques i als termes. Els símbols de multiplicació són sovint omesos, i se sobreentenen quan no hi ha res entre dues variables o dos termes, o quan s'utilitza un coeficient. Per exemple, s'escriu , i es pot escriure .[8]
Normalment, els termes que tenen una potència més gran (exponent) es troben a l'esquerra de les expressions, per exemple, s'escriu a l'esquerra de x. Quan un coeficient és 1, és normalment omès (per exemple s'escriu ).[9] Igualment s'omet l'exponent quan és 1, (per exemple s'escriu ).[10] Quan l'exponent és zero, s'escriu simplement 1 (per exemple sempre es reescriu com 1).[11] Tanmateix , en ser indefinit, no hauria d'aparèixer en una expressió, i s'ha de vigilar quan se simplifiquen expressions en què les variables apareixen en els exponents.
Quan el format requerit no està disponible, s'utilitzen altres tipus de notació en les expressions algebraiques. Com a il·lustració d'això, mentre que en text pla s'utilitzen superíndexs pels exponents (), en altres àmbits com ara el llenguatge de marques de TeX, s'utilitza el símbol caret "^" per representar les potències, així doncs s'escriu "x^2".,[12][13] així com en altres llenguatges de programació com ara Lua. En llenguatges de programació com Ada,[14] Fortran,[15] Perl,[16] Python [17] i Ruby,[18] s'utilitza un doble asterisc, així doncs s'escriu "x**2". Molts llenguatges de programació i calculadores utilitzen un únic asterisc per representar el símbol de la multiplicació,[19] i s'ha d'utilitzar de forma explícita, per exemple, s'escriu "3*x".
L'àlgebra elemental estén i està construïda sobre l'aritmètica[20] a partir de la introducció de lletres anomenades variables per representar nombres generals (no específics). Això és útil per diferents raons.
Es poden avaluar i simplificar les expressions algebraiques, mitjançant les propietats bàsiques de les operacions aritmètiques (la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i la potenciació). Per exemple,
Una equació afirma que dues expressions són iguals a través del símbol d'igualtat, = (el signe igual).[26] Una de les equacions més conegudes descriu el teorema de Pitàgores, que relacions la longitud dels costats d'un triangle rectangle:[27]
Aquesta equació afirma que , que representa el quadrat de la longitud de la hipotenusa (el costat contrari a l'angle recte) és igual a la suma dels quadrats dels altres dos costats, les longituds dels quals són representades com a i b.
Una equació és l'afirmació que dues expressions tenen el mateix valor i són iguals. Algunes equacions són certes per tot valor de les variables que hi apareixen (com és el cas de ); aquestes equacions són anomenades identitat. Les equacions condicionals són certes només per alguns valors de les variables que hi apareixen, per exemple és cert només per i . Els valors de les variables que fan que l'equació sigui certa són les solucions de l'equació i es poden trobar mitjançant la resolució de l'equació.
Una altra tipus d'equació és la desigualtat. S'utilitzen les desigualtats per afirmar que el valor en un costat de l'equació és més gran o més petit que el de l'altre costat. El símbols que s'utilitzen són: on representa 'més gran que', i on representa 'menys que'. Igual que en les equacions d'igualtat estàndard, es poden sumar, restar, multiplicar o dividir els nombres. L'única excepció és que quan es multiplica o divideix per un nombre negatiu, el símbol de desigualtat s'inverteix.
Per definició, la igualtat és una relació d'equivalència, en el sentit que té les propietats (a) reflexivitat (és a dir, ), (b) simetria (és a dir, si llavors ) (c) transitivitat (és a dir, si i llavors ).[28] També satisfà la important propietat que sí s'utilitzen dos símbols diferents per coses iguals, llavors un dels símbols pot ser substituït per l'altre en qualsevol afirmació sobre el primer i l'afirmació seguirà sent vàlida. Això implica les següents propietats:
Les relacions menor que i major que tenen la propietat de la transitivitat:[29]
Revertint aquesta desigualtat, i poden ser intercanviats,[31] per exemple:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.