Težište

Težište je u fizici tačka (hvatište) koja se ponaša tako kao da je masa cijelog sistema koncentrirana u tu tačku. U nekim slučajevima se cijeli složeni sistem može prikazati samo svojim težištem: izračun zapremine nekog rotacijskog tijela se može izračunati kao proizvod površine geometrijskog lika i dužine puta koji opisuje težište tog geometrijskog lika. S druge strane, centar mase složenog sistema (npr. geometrijskog tijela) zavisi od položaja parcijalnih masa koje čine taj sistem.

Gore je samo jedna od definicija za težište. Činjenica je da težište imaju i geometrijski likovi i geometrijska tijela. Težište geometrijskih likova i tijela se koristi pri izračunima u matematici, mašinstvu i drugim fizičkim disciplinama.

Matematička definicija težišta

${\displaystyle \mathbf {Y_{c}} ={\sum m_{i}\mathbf {Y} _{i} \over \sum m_{i}}}$

Iz gornje formule vidimo da je težište izračunato kao srednja vrijednost proizvoda jediničnih (parcijalnih) masa i njihovih parcijalnih vrijednosti težišta.

Primjeri

• Centar mase, ili težište sistema sastavljenog od dva podsistema nalaziti će se na dužini koja spaja centre ta dva podsistema. Težište cijelog sistema će biti bliže težem podsistemu.
• Centar prstena će biti u centru tog geometrijskog lika (u zraku).
• Centar pravougaonika nalazit će se na presjeku dijagonala.
• Općenito, za simetrična geometrijska tijela i likove, centar će se nalaziti na simetrali tog tijela ili lika.

Historija

Težišta je prvi proučavao, još u antičko doba, grčki matematičar, fizičar i naučnik Arhimed. Razvio je matematičke metode za izračunavanje težišta različitih oblika (trougla, kalote...).

Težišta linija

• • Dužina.

Težište je na polovini dužine.

• • Kružni luk s polumjerom r i uglom ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Y_{c}=r\cdot {\frac {sin\alpha }{\hat {\alpha }}}}$

gdje je ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ (rad)

• • Trougao.

${\displaystyle Y_{c}={\frac {h}{3}}}$

• • Paralelogram.

Težište je na presjeku dijagonala.

• • Kružni isječak.

${\displaystyle Y_{c}={\frac {2}{3}}\cdot r\cdot {\frac {sin\alpha }{\hat {\alpha }}}}$

gdje je ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ (rad)

• • Kružni odsječak.

${\displaystyle Y_{c}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {sin^{3}\alpha }{{\hat {\alpha }}-sin\alpha \cdot cos\alpha }}}$

gdje je ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ (rad)

Težište geometrijskih tijela

• • Kocka i prizma

Težište je u središtu.

• • Piramida i stožac

${\displaystyle Y_{c}={\frac {h}{4}}}$

• • Polukugla.

${\displaystyle Y_{c}={\frac {3}{8}}\cdot r}$

• • Kalota (kuglin odsječak)

${\displaystyle Y_{c}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {(2r-h)^{2}}{(3r-h)}}}$

• • Kuglin isječak

${\displaystyle Y_{c}={\frac {3}{8}}\cdot (2r-h)}$