Sinusna teorema

Sinusna teorema

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$ gdje su ${\displaystyle \ a,b,c}$ stranice naspram uglova ${\displaystyle \alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,}$ u trouglu ${\displaystyle \ ABC,}$ a ${\displaystyle \ R}$ poluprečnik opisanog kruga.

U sfernoj geometriji koristi se

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.}$

Dokaz

• 

Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno.${\displaystyle CA'=2R}$ je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom ${\displaystyle BC=a}$ jednaki, tj. ${\displaystyle \alpha =\angle BAC=\angle BA'C,}$ i periferni ugao ${\displaystyle \angle CBA'}$ nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{2R}},}$ odnosno ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$

Slično dobijamo za uglove ${\displaystyle \beta ,\;\gamma }$

Teorema

Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama .

Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela

${\displaystyle \angle ACD=\angle DCB=\phi ,\;(\angle C=\gamma =2\phi ).}$

Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo:

${\displaystyle AD:AC=\sin \phi$ :\sin \theta ,\quad DB:CB=\sin \phi :\sin \theta .} Otuda je ${\displaystyle \ AD:AC=DB:CB,}$

Površina trougla

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}b(c\sin \gamma )={\frac {1}{2}}c(a\sin \beta )={\frac {1}{2}}a(b\sin \gamma )\,.}$

${\displaystyle {\frac {2P}{abc}}={\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,.}$

Primjeri

Sinusna teorema se primjenjuje:

1. Kada su data dva ugla i jedna stranica
2. Kada se date dvije stranice i ugao naspram jedne od tih stranica

Primjer 1

Neka su date stranice trougla ${\displaystyle a=20}$, i ${\displaystyle c=24}$, i ugao ${\displaystyle \gamma =40^{\circ }}$.

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.}$

${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$

Primjer 2

U ${\displaystyle \Delta ABC,\;BC=7,\;\angle A=41^{\circ },\;\angle B=62^{\circ }.}$ Naći dužinu stranice AC.

Rešenje:

${\displaystyle {\frac {7}{\sin 41^{\circ }}}={\frac {b}{\sin 62^{\circ }}}\Rightarrow b={\frac {7\sin 62^{\circ }}{\sin 41^{\circ }}}=9{,}4208....}$

Prema tome

${\displaystyle AC=9{,}42}$.

Primjer 3

U trouglu ABC zadano je ${\displaystyle AC=15,\;\angle A=107^{\circ },\;\angle B=32^{\circ }}$ naći AB.

Rešenje:

Iz ${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ },}$ proizlazi ${\displaystyle \angle C=41^{\circ }.}$

Zatim, iz sinusne teoreme

${\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},}$ tj.

${\displaystyle {\frac {15}{\sin 32^{\circ }}}={\frac {c}{\sin 41^{\circ }}},}$ dobijamo ${\displaystyle c={\frac {15\cdot \sin 41^{\circ }}{\sin 32^{\circ }}}=18{,}5705....}$

Prema tome, stranica AB = 18,57.

Odnos prema kružnici

Iz identiteta

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}},\!}$

Također pogledajte

• Tangensni teorem

Vanjski linkovi

• Sine theorem
• Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized Law of Sines
• Law of Sines