Leibnizova formula za determinante

U algebri, Leibnizova formula izražava determinantu kvadratne matrice ${\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$ preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}$

za matricu dimenzije n×n, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi S_n, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.

Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:

${\displaystyle \det(A)=\epsilon ^{i_{1}\cdots i_{n}}{A}_{1i_{1}}\cdots {A}_{ni_{n}},}$

što je poznatije fizičarima.

Formalni iskaz i dokaz

Teorem

Postoji tačno jedna funkcija

${\displaystyle F:{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K} }$

koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je ${\displaystyle F(I)=1}$.

Dokaz

Jedinstvenost: Neka ${\displaystyle F}$ bude funkcija, i neka ${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$ bude matrica dimenzije ${\displaystyle n\times n}$. Reći ćemo da je ${\displaystyle A^{j}}$ ${\displaystyle j}$-ta kolona matrice ${\displaystyle A}$, to jest ${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$, takvo da je ${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

Također, neka ${\displaystyle E^{k}}$ označava ${\displaystyle k}$-tu vektor kolonu matrice identiteta.

Tada se piše svaki ${\displaystyle A^{j}}$ član kao ${\displaystyle E^{k}}$, to jest

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$.

Pošto je ${\displaystyle F}$ multilinearno, imamo da je

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},A^{2},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}F\left(E^{k_{1}},A^{2},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}\sum _{k_{2}=1}^{n}a_{k_{2}}^{2}F\left(E^{k_{1}},E^{k_{2}},A^{3},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum _{k_{1},k_{2}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{2}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},E^{k_{2}},A^{3},\dots ,A^{n}\right)\\&=\cdots \\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

Iz alternacije, slijedi da ako je ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$, tada imamo

${\displaystyle {\begin{aligned}\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=-F\left(\dots ,E^{k_{2}},\dots ,E^{k_{1}},\dots \right)\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=-F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)\\F\left(\dots ,E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{2}},\dots \right)&=0\end{aligned}}}$

Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih ${\displaystyle n}$-tostrukosti ${\displaystyle \left(k_{1},\dots ,k_{n}\right)}$, i pošto ${\displaystyle k_{i_{1}}=k_{i_{2}}}$ implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao

${\displaystyle \sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

Pošto je F alternativno, kolone ${\displaystyle E}$ se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

gdje ${\displaystyle F(I)}$ treba da bude jednako ${\displaystyle 1}$.

Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa ${\displaystyle F\left(I\right)=1}$.

Postojanje: Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.

Multilinearnost:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{0},\dots ,c*A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*c*a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c*\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c*F(A^{0},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{0},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*\left(b_{j}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*\left(\left(b_{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*b_{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )*\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{0},\dots ,b,\dots )+F(A^{0},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

Alternativnost:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)*a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}*a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

Sad neka ${\displaystyle \omega }$ bude mnogostrukost jednaka ${\displaystyle \sigma }$ sa zamijenjenim indeksima ${\displaystyle j_{1}}$ i ${\displaystyle j_{2}}$. Slijedi iz definicije ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ funkcije da je ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=-sgn(\omega )}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\\F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\omega \in {\mathfrak {S}}_{n}}-\operatorname {sgn}(\omega )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\omega (i)}^{i}\right)*a_{\omega (j_{1})}^{j_{1}}*a_{\omega (j_{2})}^{j_{2}}\\&=-F(\dots ,A^{j_{2}},\dots ,A^{j_{1}},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

Konačno, ${\displaystyle F(I)=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\\F(I)&=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma =(1,2,\dots ,n)}\prod _{i=1}^{n}I_{i}^{i}\\&=1\end{aligned}}}$

Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s ${\displaystyle F(I)=1}$, su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija

${\displaystyle \det$ :{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K} }

sa ove tri osobine.

Također pogledajte

• Matrica (matematika)
• Kramerovo pravilo

Reference

• Lloyd N. Trefethen and David Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).