Pascalov trougao

Pascalov trougao je termin prema autoru djela Traité du triangle arithmétique (Rasprava o aritmetičkom trouglu) koje je objavljena posthumno u 1665. U njemu je Pascal prikupio nekoliko ondašnjih znalaca o trokutu i zaposlio ih na rješavanju problema u teoriji vjerovatnoće. Trougao je po Pascalu kasnije nazvao Pierre Raymond de Montmort (1708.), koji je pod nazivom "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (francuski: Tabela gospodina Pascal za kombinacije) i Abraham de Moivre (1730.), koji je pod nazivom "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM", koji je postao moderni oblik zapadnjačkog imena.^[1]

Svaki broj u Pascalovom trouglu je suma dva susjedna broja u redu iznad njega.

Prvih šest redova Pascalovog trougla

Yang Huiov (Pascalov) trougao kao što je prikazano na drevnim kineskim računalima pomoću štapova za brojanje.

U matematici, Pascalov trougao je tako uobličeni niz binomnih koeficijenta, tj. trougao od niza ekspanzije binoma (1 + 1)ⁿ. U zapadnom svijetu ga je imenovao francuski matematičar Blaise Pascal, iako su ga drugi matematičari studirli stoljećima prije njega u Indiji.^[2] Iranu, Kini, Njemačkoj i Italiji.^[3]

Redovi Pascalovog trougla su konvencionalno poredani počevši od reda n = 0 na vrhu. Svi unosi u svakom redu su numerirani na lijevoj strani, uz početak sa k = 0 i obično približeni brojevima u odgovarajućem redu. Jednostavna konstrukcija trougla ide slijedećim tokom. Na redu 0, upiše se samo broj  1. Za konstrukciji elemenata slijedećih redova slijedi model: svaki red počinje brojem 1, koji se upisuje jedno mjesto ispred 1 prethodnog reda, a naredni broj se dobija zbrajanjem dva susjedna iz prethodnog. Na primjer, prvi broj u prvom redu je 1 (zbir 0 i 1), dok su brojevi 1 i 3 u trećem redu dodaju da proizvedu broj 4 u četvrtom redu.

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$,

onda

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$

za bilo koju ne-negativni cijeli broj n i bilo cijeli K između 0 i n .^[4] Pascalov trougao ima višedimenziske generalizacije. Trodimenzijska verzija se zove Pascalova piramida ili Pascalov tetraedar, dok je opšta verzije nazivaju Pascalove jednadžbe.

Potencije broja 2

Zbir brojeva u pojedinom redu Pascalovog trougla daje potenciju broja 2. Tako je

1. red jednak ${\displaystyle 1=2^{0}}$
2. red jednak ${\displaystyle 1+1=2^{1}}$
3. red jednak ${\displaystyle 1+2+1=2^{2}}$
4. red jednak ${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$
5. red jednak ${\displaystyle 1+4+6+4+1=2^{4}}$
6. red jednak ${\displaystyle 1+5+10+10+5+1=2^{5}}$

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}.}$

Potencije broja 11

Posmatramo li brojeve jednog reda kao cifre jednog broja, dolazi se do zanimljivog otkrić da se radi o potencijama broja 11. Tako je

• ${\displaystyle 1=11^{0}}$
• ${\displaystyle 11=11^{1}}$
• ${\displaystyle 121=11^{2}}$
• ${\displaystyle 1331=11^{3}}$
• ${\displaystyle 14641=11^{4}}$

Od šestog reda pa nadalje dvocifrene brojeve čitamo na drugi način. Kako imamo brojeve 1, 5,10, 10,5, 1 čita,o ih na sčkedeći način ${\displaystyle 1(5+1)(0+1)(0+5)051}$ tj. ${\displaystyle 161051=11^{5}}$

Figurativni brojevi

Stari su Grci posebnu pažnju posvečivali su figurativnim brojevima. To su brojevi koji se mogu pravilno rasporediti po stranicama i unutrašnjosti pravilnih poligona. Tako imamo trouglaste, četverouglaste, petougaone i šestougaone brojeve

Niz trougaonih brojeva nalazimo u Pascalovom trouglu do niza prirodnih brojeva. Formula opšteg člana niza je ${\displaystyle T(n)={\frac {1}{2}}n(n+1)}$

Tetraedarni brojevi 1, 4, 10, 20, 35, 56,84, predstavljaju niz parcijalnih zbirova trouglastih brojeva. U trouglu ih nalazimo na mjestu četvrte dijagonale Formula opšteg člana niza je ${\displaystyle T(n)={\frac {1}{6}}n(n+1)(n+2)}$

Geometrijski se ti brojevi mogu prikazati kao pravilno raspoređene tačke po bridovima, stranama i u unutrašnjosti tetraedra

Formula za rješenje problema ${\displaystyle {\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}}$

Binomni koeficijenti

Pascalov trougao se veže uz binomni teorem. Koeficienti pojedinih redova Pascalovog trougla predstavljau binomne koeficiente. označavaju se sa ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$, gdje je n broj reda , k broj koeficienta u redu.

Za binomne koeficijente vrijedi simetričnost tj${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}}$, pa su i redovi u Pascalovom trouglu simetrični.

${\displaystyle (x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}$

${\displaystyle (x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\\&{}=\sum _{i=1}^{n+1}a_{i-1}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}a_{i-1}x^{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1}+a_{i})x^{i}+a_{0}x^{0}+a_{n}x^{n+1}\\&{}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1}+a_{i})x^{i}+x^{0}+x^{n+1}\end{aligned}}}$

Reference

1. Fowler D. "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly. 103 (1): 1–17. doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. Zanemaren tekst "1996" (pomoć); CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
2. Maurice Winternitz M. : History of Indian Literature, Vol. III
3. Peter Fox (1998). Cambridge University Library: the great collections. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62647-7. Provjerite vrijednost parametra |isbn=: invalid character (pomoć).
4. The binomial coefficient ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}$ konvencijski set za 0 ako je k isto ili manje od 0 ili veće od n.

Izvor

Pascalov ili kineski trougao Arhivirano 28. 11. 2020. na Wayback Machine

Također pogledajte

• Aritmetika
• Binom