From Wikipedia, the free encyclopedia
U geometriji Brocardove tačke su posebne tačke u okviru jednog trougla. Ime su dobile po francuskom matematičaru Henriju Brocardu (1845–1922). U trouglu tačka P je prva Brocardova tačka ako važi da su uglovi između duži , i i stranica , i redom, jednaki, tj.
Tačka P je prva Brocardova tačka u trouglu , a ugao Brokardov ugao trougla.
Postoji i druga Brocardova tačka , trougla takva da su jednaki uglovi između duži , , i stranica , i redom, tj.
Za svaki trougao postoje prva i druga Brocardova tačka.
Dokaz
Pretpostavimo da je T tačka takva da važi tada je
Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke , , . To je . Na isti način nacrtajmo kružnicu . Izabereno tačku U tako da važi:
U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brocardovu tačku, jer za presječnu tačku važi:
Drugu Brocardovu tačku nalazimo analogno
Za Brocardov ugao ω važi jednakost:
Dokaz
Obilježimo sa P Brocardovu tačku trougla . Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:
i
Iz ranije dokazanog
i
Dijeljenjem prve jednačine drugom dobijamo da je
Iz sinusne teoreme znamo da važi
Daljnjim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.
Važi: , gdje je P površina trougla .
Neka je tetivni četvorougao. Prave i sijeku se u tački E, prave i u tački F, a prave i u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla ortocentar trougla .
Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice
[Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice
Presjek tetiva i jedinične kružnice je tačka
]
važe jednakosti:
Da bismo pokazali da je ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je i .
Zbog simetrije, dovoljno je dokazati
Konjugovanjem dobijamo
Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je dokazana Brocardova teorema.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.