লাপ্লাস রূপান্তর

গণিতে লাপ্লাস রূপান্তর (ফরাসি: Transformation de Laplace, ইংরেজি: Laplace Transform) বহুল পরিচিত ও ব্যবহৃত একটি সমাকলনীয় রূপান্তর। এটি সাধারণত একটি সাধারণ অন্তরক সমীকরণকে সহজে সমাধানযোগ্য বীজগাণিতিক সমীকরণে রূপান্তর করতে ব্যবহার করা হয়। এই অপেক্ষকের নামকরণ হয় ফরাসি গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ পিয়ের সিমোঁ লাপ্লাসকে সম্মান জানিয়ে।^[1] লাপ্লাস রূপান্তর মূলত সময় (time) চলককে রূপান্তর করে থাকে।^[2] সংকেত প্রক্রিয়াকরণ, পদার্থবিজ্ঞান, আলোকবিজ্ঞান, তড়িৎ কৌশল, নিয়ন্ত্রণ কৌশল এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বে এর গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার রয়েছে।

লাপ্লাস রূপান্তর

লাপ্লাস রূপান্তর ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে সম্পর্কযুক্ত, তবে যেখানে ফুরিয়ে রূপান্তর একটি ফাংশন বা সংকেতকে এর কম্পনের ধরনে বিভক্ত করে, সেখানে লাপ্লাস রূপান্তর তা এর মোমেন্টে বিভক্ত করে। ফুরিয়ে রূপান্তরের মত লাপ্লাস রূপান্তরও অন্তরক ও সমাকলনীয় সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

লাপ্লাস রূপান্তরকে ${\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এটি ফাংশনে f(t) (প্রকৃত) একটি রৈখিক অপারেটর, যার একটি বাস্তব আর্গুমেন্ট t (t ≥ 0) আছে, যা একে জটিল আর্গুমেন্ট বিশিষ্ট একটি ফাংশনে F(s) (ছবি) রূপান্তরিত করে। ^[3]

ইতিহাস

প্রচলিত সংজ্ঞা

যদি একটি অপেক্ষক ${\displaystyle F(s)}$ থাকে, যাতে

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$

বিরাজ করে, তবে ${\displaystyle F(s)}$ কে ${\displaystyle f}$ এর লাপ্লাস রূপান্তর (Laplace transform) বলে। সংক্রিয়া (operation) ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ যা প্রদত্ত ${\displaystyle f}$অপেক্ষকটিকে ${\displaystyle F}$ অপেক্ষকে রূপান্তর করে, তাকে লাপ্লাস রূপান্তরক (Laplace transformation) বলে। ${\displaystyle F}$ হলো একটি অপেক্ষক, আর ${\displaystyle f}$ হলো একটি সংকারক (operator)। ${\displaystyle F}$ অপেক্ষকের ${\displaystyle s}$ চলকটিকে রূপান্তর পরামিতি (transformation parameter) বলে।

দেখা যাচ্ছে, লাপ্লাস রূপান্তর একটি অপ্রকৃত সমাকলন, যেহেতু এর একটি সীমা অসীম।^[2]

সম্ভাবনা তত্ত্ব

দ্বিপার্শ্বিক লাপ্লাস রূপান্তর

বিপরীত লাপ্লাস রূপান্তর

ধর্ম

রৈখিকতা

${\displaystyle c_{1}}$ ও ${\displaystyle c_{2}}$ দুটি ধ্রুবক এবং ${\displaystyle f(t)}$ এবং ${\displaystyle g(t)}$ দুটি অপেক্ষকের জন্য${\displaystyle {\mathcal {L}}\{c_{1}f(t)+c_{2}g(t)\}=c_{1}{\mathcal {L}}\{f(t)\}+c_{2}{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$

আবার এই ধর্ম বিপরীত লাপ্লাসেও বিদ্যমান: ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{c_{1}f(t)+c_{2}g(t)\}=c_{1}{\mathcal {L}}^{-1}\{f(t)\}+c_{2}{\mathcal {L}}^{-1}\{g(t)\}}$^[2]

ছক

লাপ্লাস ছক

অপেক্ষক	সময় ডোমেইন ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$	${\displaystyle s}$ ডোমেইন ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$	অভিসারী অঞ্চল
হেভিসাইড ধাপ অপেক্ষক বা একক ধাপ অপেক্ষক (Unit Step Function)	${\displaystyle 1=e^{0t}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$	${\displaystyle s>0}$
${\displaystyle s}$-অক্ষ বরাবর রদবদল (translation) বা স্থানান্তর (shifting)। একে প্রথম রদবদল উপপাদ্য বা প্রথম স্থানান্তর উপপাদ্য বলা হয়ে থাকে।[1]	${\displaystyle e^{at}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s-a}}}$	${\displaystyle s>a}$। এখানে আপাতদৃষ্টে ${\displaystyle s\neq a}$ হলেও অপেক্ষক ${\displaystyle {\frac {1}{s-a}}}$সংজ্ঞয়িত, তবে তা হলে লাপ্লাস রূপান্তর অপসারী হয়ে পড়ে।[1]
সাইন	${\displaystyle \sin {at}}$	${\displaystyle {\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle s>0}$
কোসাইন	${\displaystyle \cos {at}}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle s>0}$
অন্তরজ	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)}$	ধরে নিয়ে যে, ${\displaystyle f(t)}$ যতটা স্ফীত হয় বা অভিসারী হয়, তার চেয়ে ${\displaystyle e^{-st}}$ দ্রুত সংকুচিত হয় বা চেপে আসে বা অভিসারী হয়। ব্যাখ্যা ছকের নিচে দেওয়া হয়েছে।
সময়ের ঘাত	${\displaystyle t^{n}}$	${\displaystyle {\frac {n!}{s^{n+1}}}}$	${\displaystyle n=1,2,3,...}$[1]

^[4]

কোন অপেক্ষক কত দ্রুত প্রসারিত বা সংকুচিত হয়

${\displaystyle x}$	${\displaystyle ln(x)}$	${\displaystyle e^{x}}$
1	0	2.7182
2	0.6931	7.389
3	1.0986	20.085
4	1.3862	54.598
5	1.6094	148.41
6	1.7917	403.42
7	1.9459	1096.6

দেখা গেল, চলকের মান বাড়াতে থাকলেও ${\displaystyle ln(x)}$ এর মান ২-এর ঘরেই যখন পৌঁছে নি, তখন ${\displaystyle e^{x}}$ এর মান ১০০০ পার করে ফেলেছে। তাই বলা যায়, ${\displaystyle ln(x)}$ এর চেয়ে ${\displaystyle e^{x}}$ অধিকতর বর্ধিষ্ণু। অসীমতক সীমা সংবলিত সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে এই ধারণা বা মানসচিত্র কাজে দেয়।

ঘাত শ্রেণির সঙ্গে সম্পর্ক

ক্ষণকালের সঙ্গে সম্পর্ক

লাপ্লাস অবকল অপেক্ষকের প্রমাণ

অপ্রকৃত সমাকলের মান নির্ণয়

অন্যান্য রূপান্তর পদ্ধতির সঙ্গে সম্পর্ক

তথ্যসূত্র

1. Dennis G. Zill (২০১৮)। A First Course in Differential Equations with Modeling Applications (১০ম সংস্করণ)। Cengage।উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
2. Constanda, Christian (২০১৭)। Differential Equations: A Primer for Scientists and Engineers। Springer, Cham। পৃষ্ঠা ১৮৯। আইএসবিএন 978-3-319-84350-6। ডিওআই:10.1007/978-3-319-50224-3।
3. Korn ও Korn 1967, §8.1
4. খান, সালমান। "Laplace transform"। খান একাডেমি। সংগ্রহের তারিখ ২ সেপ্টেম্বর, ২০২১। এখানে তারিখের মান পরীক্ষা করুন: |সংগ্রহের-তারিখ= (সাহায্য)